Question

20．如图所示，一质量为m=1.5kg的滑块从倾角为θ=37°的斜面上自静止开始滑下，滑行距离s=10m后进入半径为R=9m的光滑圆弧AB，其圆心角θ，然后水平滑上与平台等高的小车．已知小车质量为M=3.5kg，滑块与斜面及小车表面的动摩擦因数μ=0.35，小车足够长，取g=10m/s²．求：
（1）滑块在斜面上的滑行时间t₁及到达A点的速度大小v_A；
（2）滑块脱离圆弧末端B点前轨道对滑块的支持力大小；
（3）当小车开始匀速运动时，小车运动的距离s₂及滑块在车上滑行的距离s₁．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律及匀变速直线运动的规律即可求出时间及到达A的速度；
（2）根据动能定理求出速度，然后根据牛顿第二定律求出支持力的大小；
（3）求出m和M的加速度，根据匀变速直线运动的规律求出运动时间及运动距离．

解答 解：（1）滑块在斜面上的滑行加速度a
由牛顿第二定律，有 mg（sinθ-μcosθ）=ma₁
$s=\frac{1}{2}a{t_1}^2$
解得 t₁=2.5s    
到达A点的速度大小  v_A=at₁=8 m/s
（2）滑块在圆弧AB上运动过程，
由动能定理$\frac{1}{2}m{v_A}^2+mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
由牛顿第二定律，有  ${F_B}-mg=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$
解得轨道对滑块的支持力 F_B=31.7N
（3）滑块在车上滑行时的加速度 a₁=μg=3.5m/s²
小车的加速度  ${a_2}=\frac{m}{M}μg=1.5$m/s²
小车与滑块达到共同速度时小车开始匀速运动，
满足   v_B-a₁t₂=a₂t₂
解得 t₂=2 s
小车运动的距离  ${s_2}=\frac{1}{2}{a_2}{t_2}^2=3$m          
滑块运动的距离  ${s_1}={v_B}{t_2}-\frac{1}{2}{a_1}{t_2}^2=13$m     
所以，滑块在车上滑行的距离△s=s₂-s₁=10m  
答：（1）滑块在斜面上的滑行时间为2.5s，到达A点的速度大小8m/s；
（2）滑块脱离圆弧末端B点前轨道对滑块的支持力大小为31.7N；
（3）当小车开始匀速运动时，小车运动的距离为3m，滑块在车上滑行的距离为13m．

点评 此题考查动能定理及牛顿第二定律的应用，属于多过程问题，需要分阶段求解，中档题．