Question

Ⅰ将一个质量为m的物体挂在一个劲度系数为K的弹簧下面，如果不考虑弹簧的质量和空气阻力，振动周期T=2π

m K

．为了研究周期和振子质量的关系，设计如图所示的实验装置，将弹簧的一端固定在铁架台上，另一端挂一只小盘，铁架台的竖杆上固定一个可以上下移动的标志物，作为计时标志．改变小盘中砝码的质量m，测量全振动50次的时间并求出相应的周期T．某次实验得到下列数据：

m（10-3kg）	5.00	10.00	15.00	20.00	25.00	30.00
T（s）	42.7 50.0	44.8 50.0	46.8 50.0	48.5 50.0	50.4 50.0	52.1 50.0
T2（s2）	0.729	0.803	0.876	0.941	1.016	1.086

（1）以横轴代表m，纵轴代表T²，作出T²-m图．（画在答卷页上）并回答为什么不用T作为纵轴而用T²作为纵轴？

 

．
（2）根据图线求解弹簧的劲度系数

 

．
（3）对T²-m图作出必要的解释

 

．

Ⅱ测量“水果电池”的电动势和内电阻；将一铜片和一锌片分别插入同一只苹果内，就构成了简单的“水果电池”，其电动势约1.5V，可是这种电池并不能点亮额定电压为1.5V，额定电流为0.3A的手电筒上的小灯泡．原因是流过小灯泡的电流太小了，经实验测得还不足3mA．现用量程合适的电压表、电流表以及滑动变阻器、开关、导线等实验器材尽量精确地测定“水果电池”的电动势和内电阻．
（l）若给出的滑动变阻器有两种规格：A（0～30Ω）、B（0～3kΩ）．本实验中应该选用哪种规格的滑动变阻器？
（2）请在框内画出实验电路图．
（3）在实验中根据电压表的示数U与电流表的示数I的值，经描点、连线得到U-I图象，如图所示，根据图中所给数据，则“水果电池”的电动势与内电阻分别为E=

 

V，r=

 

Ω．
（4）若不计测量中的偶然误差，用这种方法测量得出的电动势和内电阻的值与真实值相比电动势E

 

．（填“偏大”、“相等”、“偏小”），内电阻r

 

（填“偏大”、“相等”、“偏小”）

Answer 1

分析：Ⅰ（1）由表格数据看出，T与m是非线性关系在，而T²与m是线性关系．
（2）由实验原理：振动周期T=2π

m K

，变形得到T²=

4π2

k

?m，T²-m图象的斜率K=

4π2

k

，由数学知识求出斜率，即可得到k．
（3）分析可知图线不经过原点的原因：没有考虑砝码盘的质量和弹簧的质量
Ⅱ、（1）由题“水果电池”的内阻很大，若选用0～30Ω的变阻器，电表读数几乎不变．可知选B．
（2）由于变阻器的电阻较大，选择内接法（测量对象是电源）可减小误差．
（3）U-I图象纵轴截距等于电源的电动势，斜率的绝对值大小等于内阻，由数学知识求得“水果电池”的电动势与内电阻．
（4）由于电流表的分压，使得路端电压存在误差，运用图象法分析误差．

解答：解：（1）由表格数据看出，T与m是非线性关系在，而T²与m是线性关系，所以T²-m图象简单，呈线性关系．
（2）由振动周期T=2π

m K

，变形得到T²=

4π2

k

?m，T²-m图象的斜率K=

4π2

k

，由数学知识得到图象的斜率大小为K=

1.0-0.66

24×10-3

=14，则k=

4π2

K

=2.8N/m
（3）Ⅰ．图线不经过原点的原因：没有考虑砝码盘的质量和弹簧的质量
Ⅱ（1）由题设条件可知，“水果电池”的内阻很大，若选用0～30Ω的变阻器，当滑动触头移动时，电表的读数几乎不变，无法多次测量，使实验的误差较大．故选用阻值较大的滑动变阻器B．
（2）由于变阻器的电阻较大，选择内接法（测量对象是电源）可减小误差．电路图如下图．
（3）由图可知，图线纵轴的截距即为电动势，则E=1.5V．图线的斜率大小等于电源的内阻，则r=

△U

△I

=

1.5

3×10-3

Ω=500Ω．
（4）由于电流表的分压，使得路端电压存在误差，而电流没有误差，运用图象法分别在U-I图上由测量数据作出的图线1和修正误差后真实值作出的图线2，由图看出，电动势没有系统误差，即电动势值与真实值相等，内阻的测量值偏大．
故答案为：
（1）图线简单，呈线性关系
（2）2.8N/m
（3）Ⅰ．图线不经过原点的原因：没有考虑砝码盘的质量和弹簧的质量
Ⅱ（1）B （2）略 （3）1.5V，500Ω （4）相等，偏大

点评：第Ⅰ题中采用了转换法的思维，将非线性关系转换成线性关系研究，简单直观．对于误差分析通常有两种方法分析：一是公式法；二是图象法．