Question

小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为（　　）

A．4.7π R g

B．3.6π R g

C．1.7π R g

D．1.4π R g

Answer 1

设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，
因其绕月球作圆周运动，
所以应用牛顿第二定律有

GMm

r2

=m

4π2r

T2

r=3R
T=2π

r3 GM

=6π

3R3 GM

，
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，
GM=gR²
所以T=6π

3R g

，①
设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T₁，航天飞机在大圆轨道运行的周期是T₂．
对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有

T2

(3R)3

=

T12

(2R)3

=

T22

(3R)3

②
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足
t=nT₂-T₁ ③（其中，n=1、2、3、…）…
联立①②③得t=6πn

3R g

-4π

2R g

（其中，n=1、2、3、…）
当n=1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即t=4.7π

R g

故选A．