Question

9．某研究所正在研究一种电磁刹车装置，试验小车质量m=2kg，底部有一个匝数n=100匝，边长a=0.01m的线圈，线圈总电阻r=1Ω，在试验中，小车（形状可视为简化为正方形线圈）从轨道起点由静止出发，通入右边的匀强磁场区域ABCD，BC长d=0.20m，磁感应强度B=1T，磁场方向竖直向上，整个运动过程中不计小车所受的摩擦及空气阻力，小车在轨道连接处运动时无能量损失．

（1）当试验小车从h=1.25m高度无初速度释放，求小车前端刚进入AB边界时产生感应电动势的大小．
（2）在第（1）问，小车进入磁场后作减速运动，当小车末端到达AB边界时速度刚好减为零，求此过程中线圈产生的热量．
（3）再次改变小车释放的高度，使得小车尾端刚好能到达CD处，求此高度h′．

Answer 1

分析 （1）先根据机械能守恒定律求出小车前端刚进入AB边界时的速度，再由公式E=BLv求感应电动势．
（2）小车进入磁场后作减速运动，动能转化为内能，根据能量守恒定律求线圈产生的热量．
（3）对线圈进出磁场的过程，运用动量定理列式，再结合感应电量 q=n$\frac{△Φ}{R}$，求出小车前端刚进入AB边界时的速度，从而由机械能守恒求出此高度h′．

解答 解：（1）小车在斜轨上下滑的过程，根据机械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：v=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s
根据法拉第电磁感应定律得小车前端刚进入AB边界时产生感应电动势的大小为：
E=nBav=100×1×0.01×5V=5V
（2）小车进入磁场后作减速运动，动能转化为内能，根据能量守恒定律得此过程中线圈产生的热量为：
Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}$×2×5²=25J
（3）设小车前端刚进入AB边界时的速度为v₁，对于线圈进出磁场过程，取向右为正方向，由动量定理得：
-nB$\overline{I}$at=-mv₁，
又通过线圈截面的电荷量为：q=$\overline{I}$t
联立得：q=$\frac{m{v}_{1}}{nBa}$
根据q=n$\frac{△Φ}{R}$得线圈进入磁场的过程，通过线圈截面的电荷量为：
q₁=n$\frac{B{a}^{2}}{r}$=100×$\frac{1×0.0{1}^{2}}{1}$=0.01C
则有：q=2q₁=0.02C
所以有：v₁=$\frac{nqBa}{m}$=$\frac{100×0.02×1×0.01}{2}$=0.01m/s
依据机械能守恒定律，则有：mgh′=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据，解得：h′=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{0.0{1}^{2}}{2×10}$=5×10^-6m
答：（1）小车前端刚进入AB边界时产生感应电动势的大小5V．
（2）当小车末端到达AB边界时速度刚好减为零，此过程中线圈产生的热量25J．
（3）再次改变小车释放的高度，使得小车尾端刚好能到达CD处，此高度5×10^-6m．

点评 考查了机械能守恒定律、能量守恒定律，及动量定理的内容，掌握电量综合表达式的推导，注意动量的矢量性，理解法拉第电磁感应定律的应用．