Question

5．2007年10月24日18：05时“嫦娥1号”探月卫星成功发射，最后绕月球做匀速圆周运动．已知“嫦娥1号”距离月球表面高度为h，月球表面重力加速度为g，月球半径为R，求：
（1）“嫦娥1号”绕月飞行的周期T=？
（2）在月球表面上发射一颗绕它运行的卫星的最小发射速度为多少？

Answer 1

分析 嫦娥1号做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由万有引力公式和牛顿第二定律，列出等式．
在月球表面，根据万有引力等于重力列出等式，联立求解周期．
发射卫星的最小速度等于贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，根据万有引力提供向心力，求出最小速度．

解答 解：（1）嫦娥1号做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$ ①
在月球表面，根据万有引力等于重力列出等式，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg   ②
由①②联立解得：T=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$，
（2）发射卫星的最小速度等于贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，
根据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ③
由②③联立解得：v=$\sqrt{gR}$，
答：（1）“嫦娥1号”绕月飞行的周期是2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$，
（2）在月球表面上发射一颗绕它运行的卫星的最小发射速度为$\sqrt{gR}$．

点评 能正确根据卫星运动时的向心力由万有引力提供列出等式求解，第一宇宙速度也是近星的环绕速度．