Question

12．两颗靠得较近的天体容易形成双星系统．它们在万有引力的作用下，绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．由天文观测所得，某双星系统中，两星体中心距离为r，两星体的质量分别为m₁和m₂．则两星体绕共同圆心做匀速圆周运动的轨道半径之比r₁：r₂=m₂：m₁，它们共同的角速度为$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{r}^{3}}}$．（引力常量为G）

Answer 1

分析 两颗恒星都做匀速圆周运动，两颗恒星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解两星体绕共同圆心做匀速圆周运动的轨道半径之比；
两星体中心距离为r，根据第一问的结论求解出两个半径，然后进一步根据万有引力定律提供向心力列式求解它们共同的角速度．

解答 解：（1）两颗恒星都做匀速圆周运动，两颗恒星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
对m₁：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}={m}_{1}{ω}^{2}{r}_{1}$        ①
对m₂：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}={m}_{2}{ω}^{2}{r}_{2}$        ②
故：m₁r₁=m₂r₂
r₁：r₂=m₂：m₁               ③
（2）由于r₁+r₂=r，结合③式解得：
r₁=$\frac{{m}_{2}r}{{m}_{1}+{m}_{2}}$                 ④
将④式代入①式，解得：
ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{r}^{3}}}$
故答案为：m₂：m₁； $\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{r}^{3}}}$．

点评 本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：角速度相同．