Question

3．质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为3L，在离P球L处有一个光滑固定轴O，如图所示，现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：
（1）小球P的速度大小
（2）在此过程中小球P机械能的变化量
（3）要使Q球能做完整的圆周运动，给Q球的初速度至少为多大？

Answer 1

分析 （1）在Q球顺时针摆动到最低位置的过程中，对于两球和地球组成的系统机械能守恒，由此列式求解．
（2）根据动能和重力势能的变化，求P球机械能的变化．
（3）要使Q球能做完整的圆周运动，Q转到最高点时速度至少为零，根据系统的机械能守恒求解．

解答 解：（1）对于P球和Q球组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则有：
2mg•2L-mgL=$\frac{1}{2}$mv_P²+$\frac{1}{2}$•2mv_Q²
两球共轴转动，角速度大小始终相等，由v=rω得：v_Q=2v_P；
联立解得：v_P=$\frac{\sqrt{6gL}}{3}$
（2）小球P机械能的变化量为：
△E_P=mgL+$\frac{1}{2}$mv_P²=$\frac{4}{3}$mgL
（3）要使Q球能做完整的圆周运动，给Q球的初速度至少为v．当Q转到最高点时速度为零恰好能做完整的周期运动，由系统的机械能守恒得：
2mg•2L=mgL+$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$v）²+$\frac{1}{2}$•2mv² 
解得：v=$\frac{2\sqrt{6gL}}{3}$ 
答：（1）小球P的速度大小是$\frac{\sqrt{6gL}}{3}$；
（2）在此过程中小球P机械能的变化量是$\frac{4}{3}$mgL．
（3）要使Q球能做完整的圆周运动，给Q球的初速度至少为$\frac{2\sqrt{6gL}}{3}$．

点评 本题是轻杆连接的问题，要抓住单个物体机械能不守恒，而系统的机械能守恒是关键．要掌握轻杆类型圆周运动的临界速度，注意与轻绳类型的区别．