Question

14．如图所示，在水平长直轨道上放置一质量m=1kg的物块，物块与水平直线轨道间动摩擦力因数μ=0.1，从t=0时刻开始对m施加一周期性变化的水平向右的拉力F，在奇数秒内拉力F=4N，偶数秒内F=0，让物块由静止开始运动．
（1）求出物块奇数和偶数秒内运动加速度a₁和a₂；
（2）写出第11秒内速度v随时间t变化关系表达式；
（3）求出物块在t=10秒时刻与出发点间的距离．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律分别求出物块奇数秒和偶数秒内运动的加速度
（2）先求出第11s的初速度即第10s的末速度，再根据速度时间关系式得到第11秒内速度v随时间t变化关系表达式
（3）求出前10s的总位移即物块在t=10秒时刻与出发点间的距离

解答 解：（1）奇数秒内，对物块运用牛顿第二定律
$F-μmg=m{a}_{1}^{\;}$
代入解得：${a}_{1}^{\;}=\frac{F-μmg}{m}=\frac{4-0.1×10}{1}=3m/{s}_{\;}^{2}$
偶数秒内，根据牛顿第二定律
$μmg=m{a}_{2}^{\;}$
代入解得：${a}_{2}^{\;}=μg=1m/{s}_{\;}^{2}$
（2）第10s末的速度${v}_{10}^{\;}={v}_{0}^{\;}+{a}_{1}^{\;}•△{t}_{1}^{\;}-{a}_{2}^{\;}•△{t}_{2}^{\;}$=0+3×5-1×5=10m/s
第11s内任一时刻速度$v={v}_{10}^{\;}+{a}_{1}^{\;}•△t$=10+3×（t-10）=3t-20
其中10s≤t≤11s
（3）奇数秒与偶数秒速度增量分别为$△{v}_{1}^{\;}={a}_{1}^{\;}•△{t}_{1}^{\;}=3m/{s}_{\;}^{2}$
$△{v}_{2}^{\;}=-{a}_{2}^{\;}•△{t}_{2}^{\;}=-1m/{s}_{\;}^{2}$
各个时刻的速度分别为：${v}_{1}^{\;}=3m/s$，${v}_{2}^{\;}=2m/s$，${v}_{3}^{\;}=5m/s$，${v}_{4}^{\;}=4m/s$，${v}_{5}^{\;}=7m/s$，${v}_{6}^{\;}=6m/s$，${v}_{7}^{\;}=9m/s$，${v}_{8}^{\;}=8m/s$，${v}_{9}^{\;}=11m/s$，${v}_{10}^{\;}=10m/s$
${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{2}t=\frac{3}{2}×1=1.5m$
${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}}{2}t=\frac{3+2}{2}×1=2.5m$
${x}_{3}^{\;}=\frac{{v}_{2}^{\;}+{v}_{3}^{\;}}{2}t=\frac{2+5}{2}×1=3.5m$
${x}_{4}^{\;}=\frac{{v}_{3}^{\;}+{v}_{4}^{\;}}{2}t=\frac{5+4}{2}×1=4.5m$
${x}_{5}^{\;}=\frac{{v}_{4}^{\;}+{v}_{5}^{\;}}{2}t=\frac{4+7}{2}×1=5.5m$
${x}_{6}^{\;}=\frac{{v}_{5}^{\;}+{v}_{6}^{\;}}{2}t=\frac{7+6}{2}×1=6.5m$
${x}_{7}^{\;}=\frac{{v}_{6}^{\;}+{v}_{7}^{\;}}{2}t=\frac{6+9}{2}×1=7.5m$
${x}_{8}^{\;}=\frac{{v}_{7}^{\;}+{v}_{8}^{\;}}{2}t=\frac{9+8}{2}=8.5m$
${x}_{9}^{\;}=\frac{{v}_{8}^{\;}+{v}_{9}^{\;}}{2}t=\frac{8+11}{2}=9.5m$
${x}_{10}^{\;}=\frac{{v}_{9}^{\;}+{v}_{10}^{\;}}{2}t=\frac{11+10}{2}×1=10.5m$
前10s内的位移：x=1.5+2.5+3.5+4.5+5.5+6.5+7.5+8.5+9.5+10.5=60m
答：（1）求出物块奇数和偶数秒内运动加速度${a}_{1}^{\;}$为3$m/{s}_{\;}^{2}$，${a}_{2}^{\;}$为$-1m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）写出第11秒内速度v随时间t变化关系表达式v=3t-20（10s≤t≤11s）；
（3）求出物块在t=10秒时刻与出发点间的距离60m

点评 本题关键分时间段求出物体的合力，然后求出加速度，根据运动学公式计算各个时刻的速度，应用位移时间关系求出位移，也可以根据v-t图象求出位移．