Question

7．如图甲所示，长为L的平板车，质量为M=10kg，上表面到光滑水平地面的高度为h=1.25m，以速度v₀=7.2m/s向右做匀速直线运动，A、B是其左右两个端点．从某时刻t=0起对平板车施加一个水平向左的恒力F，与此同时，将一个质量为m=1kg的小物块轻放在平板车上的P点（小物块可视为质点，放在P点时相对于地面的速度为零），PB=2m，经过一段时间，小物块脱离平板车落到地面．已知自t=0起到小物块脱离平板车止小物块和平板车的速度随时间变化的图线分别如图乙中的a和b（取水平向右为正方向），小物块下落过程中不会和平板车相碰，重力加速度为g=10m/s²．求：
（1）小物块与平板车间的动摩擦因数μ和恒力F分别多大？
（2）判断小物块从哪一端离开平板车？平板车长L至少多大？从t=0时起，平板车向右运动的最大距离s_2m；
（3）自t=0时起到小物块脱离平板车止系统摩擦生热Q以及小物块落地时离平板车B端的水平距离x．
（s_2m和x计算结果均保留三位有效数字）

Answer 1

分析 （1）由图象乙可知，在0～1s内，小物块向右做匀加速运动，平板车向右做匀减速运动，根据图象的斜率求出加速度，再根据牛顿第二定律求解即可；
（2）小物块将从B端离开平板车，根据运动学基本公式求解小车的最小长度，在1～3s内，小物块和平板车均向右做匀减速运动，根据图象求出平板车加速度，再根据运动学基本公式求解；
（3）先求出小物块相对平板车的运动路程，根据Q=μmg△s求出产生的热量，小物块离开平板车后，根据牛顿第二定律求出加速度，小物块离开车子做平抛运动，根据平抛运动基本公式结合位移关系求解．

解答 解：（1）由图象乙可知，在0～1s内，小物块向右做匀加速运动，平板车向右做匀减速运动，加速度大小分别为：a₁₁=$\frac{△{v}_{11}}{△{t}_{1}}$=2m/s²和a₂₁=$\frac{△{v}_{21}}{△{t}_{1}}=5.2m/{s}^{2}$，
分别对小物块和平板车受力分析，由牛顿运动定律有：
μmg=ma₁₁          
代入数据解得：μ=0.2                  
F+μmg=ma₂₁，
代入数据解得：F=50N              
（2）小物块将从B端离开平板车，由运动学公式并代入△t₁=1s，v=2m/s有：
${s}_{21}=\frac{{v}_{0}+v}{2}△{t}_{1}=4.6m$，
${s}_{11}=\frac{v}{2}△{t}_{1}=1m$
可见，平板车长至少为：L=s₂₁-s₁₁+2m=5.6m             
在1～3s内，小物块和平板车均向右做匀减速运动，平板车加速度大小为：a₂₂=$\frac{△{v}_{22}}{△{t}_{2}}=4.8m/{s}^{2}$
从t=0时起，平板车向右运动的最大距离为：
${s}_{2m}={s}_{21}+\frac{{v}^{2}}{2{a}_{22}}=5.02m$
（3）由图象乙可知，小物块从t=0时起到离开平板车时所经历的时间为：t=△t₁+△t₂=3s
这段时间内小物块相对平板车的运动路程为：△s=2（s₂₁-s₁₁）+2m=9.2m  
系统摩擦生热为：Q=μmg△s=18.4J         
小物块刚离开平板车时，小车向左的速度大小为：v₂=7.6m/s
小物块向左的速度大小为：v₃=2m/s
小物块离开平板车后，车的加速度大小为：a₂₃=$\frac{F}{M}$=5m/s²      
小物块离开车子做平抛运动，有：h=$\frac{1}{2}$gt₃²，t₃=0.5s                
s₁₃=v₃t₃=1m              
车子在t₃时间内向左运动的距离为：s₂₃=v₂t₃+$\frac{1}{2}$a₂₃t₃²=4.43m      
所以，小物块落地时，离平板车B端的水平距离为：x=s₂₃-s₁₃=3.43m  
答：（1）小物块与平板车间的动摩擦因数μ为0.2，恒力F为50N；
（2）判断小物块从B端离开平板车，平板车长L至为5.6m，从t=0时起，平板车向右运动的最大距离s_2m为5.02m；
（3）自t=0时起到小物块脱离平板车止系统摩擦生热Q为18.4J，小物块落地时离平板车B端的水平距离x为3.43m．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、平抛运动基本公式以及匀变速直线运动基本公式的直接应用，解题的关键是根据速度时间图象的斜率表示加速度求解加速度，判断物体和小车的运动情况，难度较大，属于难题．