Question

如图所示，水平放置的光滑金属框abcd单位长度电阻为r，bc=L，ab=cd=2L．长度为L的导体杆MN放在金属框上，并以匀速v从最左端向右平动．导体杆MN单位长度电阻值为2r．整个空间充满匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面（abcd平面）向里．求：
（1）当导体杆MN的位移s1=

L

2

时，MN两端的电压多大？
（2）在上述位置外力F的大小是多少？
（3）当导体杆MN的位移s₂为多大时金属框上消耗的电功率最大？最大功率为多少？

Answer 1

（1）导体棒MN运动时产生的感应电动势为ε=BLv①
导体棒MN的电阻为r_MN=2Lr②
当导体杆MN的位移s1=

L

2

时，导体杆右侧金属框的电阻为



R=4Lr③
此时MN两端的电压为UMN=

R

R+rMN

ε=

2

3

BLv④
（2）在上述位置时感应电流大小为I=

ε

R+rMN

=

BLv

6Lr

=

Bv

6r

⑤
安培力大小FA=BIL=

B2Lv

6r

⑥
由于导体杆做匀速运动，外力F等于安培力，即F=FA=

B2Lv

6r

⑦
（3）金属框上消耗的电功率为P=(

ε

R+rMN

)2R=

B2L2v2R

R2+4RLr+4L2r2

=

B2L2v2

R+4Lr+ 4L2r2 R

⑧
当R=

4L2r2

R

，即R=2Lr时，P最大．
此时有R=（5L-S₂）r=2Lr⑨
可得s2=

3

2

L
此时最大功率为Pm=

B2L2v2

8Lr

=

B2Lv2

8r

．
答：（1）当导体杆MN的位移s1=

L

2

时，MN两端的电压为

2

3

BLv．
（2）在上述位置外力F的大小是

B2Lv

6r

．
（3）当导体杆MN的位移为

3

2

L时金属框上消耗的电功率最大，最大功率为

B2Lv2

8r

．