Question

11．天王星、地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，天王星的公转半径是地球的19倍，地球公转一周的时间是1年．天王星、地球和太阳在如图所示的位置排成一条直线，此后天王星再次运行到距离地球最近所需的最短时间为．

• A． $\sqrt{1{9}^{3}}$年
• B． $\frac{\root{3}{1{9}^{2}}}{\root{3}{1{9}^{2}}-1}$年
• C． $\frac{\sqrt{1{9}^{3}}}{\sqrt{1{9}^{3}}-1}$年
• D． $\frac{19}{18}$年

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，结合天王星的轨道半径求出周期．地球与天王星相距再次最近，两者转过的角度相差2π，根据周期的大小求出经历的时间．

解答 解：根据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
所以：${T}_{天}={T}_{地}•\sqrt{（\frac{{r}_{天}}{{r}_{地}}）^{3}}$=$\sqrt{1{9}^{3}}$年
地球与天王星相距再次最近，两者转过的角度相差2π，即：$\frac{2π}{{T}_{地}}•t-\frac{2π}{{T}_{天}}•t=2π$
整理得：t=$\frac{{T}_{地}•{T}_{天}}{{T}_{天}-{T}_{地}}$=$\frac{\sqrt{1{9}^{3}}}{\sqrt{1{9}^{3}}-1}$年
故选：C

点评 本题要知道地球和天王星的最远距离和最近距离是它们在一条连线上时，由几何关系结合周期关系求解时间．掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用．