Question

1．在光滑水平面上建立如图所示坐标系，有一范围足够大的匀强磁场Ⅰ，磁场的方向垂直于水平面（xOy平面）竖直向下．磁感应强度大小B沿y轴方向没有变化，沿x轴正方向均匀增加，变化率为k=$\frac{△B}{△x}$=0.1T/m．有一个质量m=0.1kg、电阻R=0.01Ω、长L=40cm、宽h=20cm、不变形的矩形金属线圈，以v₀=20cm/s的初速度从图示位置沿x轴正方向开始运动．
（1）为使线圈匀速运动，求需要对线圈施加的外力大小；
（2）若不施加外力，求线圈在水平面运动的最大位移；
（3）若不施加外力，为使线圈匀速运动，要在空间中再叠加一个方向垂直xOy平面竖直向上且随时间均匀增大的匀强磁场Ⅱ，试求匀强磁场Ⅱ的磁感应强度随时间的变化率$\frac{△B′}{△t}$．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合安培力公式，结合平衡条件，即可求解；
（2）根据牛顿第二定律，及积分求和，即可求解；
（3）依据动生感应电动势与感生电动势表达式，结合为使线圈匀速运动，则线圈所受安培力必为零，即可求解．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律可得：
线圈中感应电动势E=B₂hv₀-B₁hv₀=khLv₀；
线圈所受安培力
F=B₂hI-B₁hI=$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$v₀=1.28×10^-3 N
为使线圈匀速运动，需要对线圈施加的外力大小
F_外=F=1.28×10^-3 N．
（2）若不施加外力，线圈最终会在安培力作用下停下来，对线圈应用牛顿第二定律得：F_安=ma
即：$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$v=ma
$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$v△t=ma△t
对等式两边求和得：$\frac{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}{R}$x=mv₀，
即x=$\frac{m{v}_{0}R}{{k}^{2}{h}^{2}{L}^{2}}$
代入数据得：x=3.125 m．
（3）若不施加外力，为使线圈匀速运动，则线圈所受安培力必为零，
所以线圈中的感应电流为零，即线圈中的感应电动势为零，则有
E=（B₂hv₀-B₁hv₀）-$\frac{△B′}{△t}$Lh=khLv₀-$\frac{△B′}{△t}$Lh=0
解得：$\frac{△B′}{△t}$=kv₀=0.02 T/s．
答：（1）需要对线圈施加的外力大小1.28×10^-3 N；　
（2）线圈在水平面运动的最大位移3.125 m；
（3）匀强磁场Ⅱ的磁感应强度随时间的变化率$\frac{△B′}{△t}$为0.02 T/s．

点评 考查法拉第电磁感应定律，掌握安培力的公式，理解积分求和的方法，注意为使线圈匀速运动，则线圈所受安培力必为零，是解题的突破口．