Question

7．如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，两轮轴心相距L=2.85m，A．B分别是传送带的上表面与两轮的切点．已知两轮的边缘与传送带之间不打滑，质量为0.1kg的小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．当传送带沿逆时针方向以v₁=3m/s的速度匀速运动时，将小物块无初速度地放在A点，它会运动至B点．求：（g取10m/s²）
（1）小物块刚放在A点时的加速度；
（2）小物块从A运动到B需要的时间；
（3）整个过程中因摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）对小物块进行受力分析，小物块受重力、支持力和传送带沿带向下的摩擦力作用，根据牛顿第二定律求出合力由牛顿第二定律求出加速度即可；
（2）小物块向下加速运动当速度达到传送带速度时判定小物块是否到达底端，如若没有则小物块摩擦力会改变方向，再根据牛顿第二定律求解小物块的运动情况，从而分段求出小物块的运动时间即可．
（3）根据Q=f△x求解摩擦产生的热量，其中△x为小物块相对于传送带位移；

解答 解：（1）当小物块速度小于3m/s时，小物块受到竖直向下的重力、垂直传送带向上的支持力和沿传送带斜向下的摩擦力作用，做匀加速直线运动，
设加速度为a₁，根据牛顿第二定律可得，mgsin30°+μmgcos30°=ma₁，
解得：a₁=gsin30°+μmgcos30°=7.5m/s²．
（2）当小物块速度v₁=3m/s时，设小物块相对于地的位移为L₁，用时为t₁，
根据匀加速直线运动规律可得，t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{7.5}$s=0.4s，
L₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}}{2×7.5}$m=0.6m，
由于L₁＜L，且μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$＜tan30°，当小物块速度大于3m/s时，小物块将继续做匀加速直线运动至B点，
设加速度为a₂，用时为t₂，根据牛顿第二定律得，mgsin30°-μmgcos30°=ma₂ ，
解得：a₂=gsin30°-μmgcos30°=2.5m/s²，
物体到达底端时，满足：L-L₁=v₁t₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂² ，
解得：t₂=0.6s，
故小物块由静止出发从A到B所用时间为 t=t₁+t₂=1s．
（3）由（2）可知，物体分二段运动：
第一段物体加速时间t₁=0.4s；L₁=0.6m，
传送带位移x₁=v₁t₁=1.2m，
x_相1=x₁-L₁=0.6m，
当物体与传送带速度相等后，物体运动时间t₂=0.6s；
L₂=L-L₁=2.85-0.6=2.25m，
传送带位移：x₂=v₁t₂=1.8m，
x_相2=L₂-x₂=0.45m，
所以整个过程中因摩擦产生的热量：
Q=μmgcos30°（x_相1+x_相2）=0.2625J．
答：（1）小物块刚放在A点时的加速度为7.5m/s²；
（2）小物块从A运动到B需要的时间为1s；
（3）整个过程中因摩擦产生的热量为0.2625J．

点评 本题考查了牛顿第二定律的应用，注意分析小物体的运动过程，根据受力确定物块的运动过程是解题的关键，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题，尤其第（3）相对位移的求解有一定的难度．