Question

15．A、B两球质量分别为m₁与m₂，用一劲度系数为k的弹簧相连，一长为l₁的细线与m₁相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO′上，如图所示．当m₁与m₂均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时，弹簧长度为l₂．求：
（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？
（2）将线突然烧断瞬间，两球加速度大小和方向？

Answer 1

分析 （1）B球绕OO′做匀速圆周运动，靠弹簧的弹力提供向心力，求出弹簧的弹力，根据胡克定律即可得出弹簧的伸长量．A球在水平方向上受绳子的拉力和弹簧的弹力，两个力合力提供A球做圆周运动的向心力，从而求出绳子的拉力．
（2）绳子突然烧断的瞬间，绳子拉力立即消失，弹簧的弹力来不及发生变化，根据牛顿第二定律分别求出两球的合力，从而得出两球的加速度．

解答 解：（1）对B球有：$F={m}_{2}（{l}_{1}+{l}_{2}）{ω}^{2}$
又根据胡克定律得：F=kx，
所以有：x=$\frac{{m}_{2}（{l}_{1}+{l}_{2}）{ω}^{2}}{k}$
对A球有：T-F=${m}_{1}{l}_{1}{ω}^{2}$
所以有：T=${m}_{2}（{l}_{1}+{l}_{2}）{ω}^{2}+{m}_{1}{l}_{1}{ω}^{2}$．
（2）烧断细绳的瞬间，拉力T=0，弹力F不变，根据牛顿第二定律，
对A球有：${a}_{A}=\frac{F}{{m}_{1}}$=$\frac{{m}_{2}（{l}_{1}+{l}_{2}）{ω}^{2}}{{m}_{1}}$．
对B球有：${a}_{B}=\frac{F}{{m}_{2}}$=$（{l}_{1}+{l}_{2}）{ω}^{2}$．
答：（1）此时弹簧伸长量为$\frac{{m}_{2}（{l}_{1}+{l}_{2}）{ω}^{2}}{k}$，绳子张力为${m}_{2}（{l}_{1}+{l}_{2}）{ω}^{2}+{m}_{1}{l}_{1}{ω}^{2}$．
（2）将线突然烧断瞬间，A球的加速度大小为$\frac{{m}_{2}（{l}_{1}+{l}_{2}）{ω}^{2}}{{m}_{1}}$．方向向左．B球的加速度大小为$（{l}_{1}+{l}_{2}）{ω}^{2}$．方向向右．

点评 解决本题的关键知道匀速圆周运动的向心力靠合力提供，以及知道在烧断细绳的瞬间，拉力立即消失，弹簧的弹力来不及改变，烧断细绳的前后瞬间弹力不变．