Question

如图所示，电子显像管由电子枪、加速电场、偏转磁场及荧光屏组成．在加速电场右侧有相距为d、长为l的两平板，两平板构成的矩形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的右边界与荧光屏之间的距离也为d．荧光屏中点O与加速电极上两小孔S₁、S₂位于两板的中线上．从电子枪发射质量为m、电荷量为-e的电子，经电压为U₀的加速电场后从小孔S₂射出，经磁场偏转后，最后打到荧光屏上．若l=

3

2

d，不计电子在进入加速电场前的速度．
（1）求电子进入磁场时的速度大小；
（2）求电子到达荧光屏的位置与O点距离的最大值y_m和磁感应强度B的大小；
（3）若撤去磁场，在原磁场区域加上间距仍为d的上、下极板构成的偏转电极，加速电极右侧与偏转电极紧靠．为了使电子经电场偏转后到达荧光屏上的位置与经磁场偏转的最大值相同．在保持O与S₂距离不变，允许改变板长的前提下，求所加偏转电压的最小值．

Answer 1

分析：（1）电子经电场加速后的速度可以通过动能定理求得；
（2）电子经磁场偏转后，沿直线运动到荧光屏，电子偏转的临界状态是恰好不撞在上板的右端，到达荧光屏的位置与O点距离即为最大值，磁感应强度可以通过圆周运动向心力公式和几何关系求得；
（3）电子在电场中做曲线运动，在电场外做匀速直线运动．对恰好能通过板右端点的电子在荧光屏上的位置离O点最大，且为最大值的情况，可通过牛顿运动定律，匀变速直线运动的速度位移公式及几何关系求解．

解答：解：（1）设电子经电场加速后的速度大小为v₀，由动能定理得
  eU0=

1

2

mv02                                     
  v0=

2eU0 m

                                         
（2）电子经磁场偏转后，沿直线运动到荧光屏，电子偏转的临界状态是恰好不撞在上板的右端，到达荧光屏的位置与O点距离即为最大值y_m，如图所示，有
  ev0B=

mv02

R

                     
   (R-

d

2

)2+l2=R2                             
  tanα=

l

R- d 2

=tanθ=

ym- d 2

d

                                    
注意到 l=

3d

2

，v0=

2eU0 m

，联立上式可得
  R=

5d

2

 ym=

5d

4

                                                           
 B=

2mv0

5ed

=

2

5d

2mU0 e

                                                
（3）电子在电场中做曲线运动，在电场外做匀速直线运动．对恰好能通过板右端点的电子在荧光屏上的位置离O点最大，且为y_m的情况．设极板长度为l?，有
      tanθ=

vy

vx

=

ym- d 2

l+d-l′

            ⑧
其中
    vx=vy=

2eU0 m

                                                   ⑨
    v_y=at                                                            ⑩
其中
    a=

F

m

=

eU

md

                                                                                               
    vy2=2a

d

2

=ad                                                 
 解得     l′=

10d

7

                                                       
若增大l?，则无论加多大电压，电子在荧光屏上的偏移不能达到y_m，当减小l?，
若保持电压U不变，则电子在荧光屏上的偏移也不能达到y_m，只有增大电压才有可能实现．
因此，要使电子在荧光屏上的偏移达到y_m对应电压的最小值为：
   Umin=

2U0d2

l′2

   Umin=

49U0

50

=0.98U0
答：（1）电子进入磁场时的速度大小为

2eU0 m

；（2）电子到达荧光屏的位置与O点距离的最大值y_m为

5d

4

，磁感应强度B的大小为

2

5d

2mU0 e

；（3）所加偏转电压的最小值为0.98U₀．

点评：该题涉及到带电粒子在电场和磁场的运动情况，对同学们的分析能力和数学功底要求较高，难度很大，属于难题．