Question

13．如图所示的平面直角坐标系内分布有足够大的匀强磁场，磁感应强度B=0.05T，方向垂直纸面向里，x轴上相距为L=0.12m的P、Q两点关于原点对称，两点处均有一个粒子发射器（发射一个粒子后即移开），能分别在纸面内沿y轴正方向发射带电粒子，已知P点发射的粒子带负电，速率为v₁=3.0×10⁴m/s，Q点发射的粒子带正电，粒子的比荷均为$\frac{q}{m}$=2.0×10⁷C/kg，Q处的粒子先发射，P处的粒子后发射，发射的时间差为△t=$\frac{16π}{180}$×10^-6s，已知P处发射的粒子运动t=$\frac{127π}{180}$×10^-6s时间后，恰与Q处发射的粒子在第二象限内相遇，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用力．
（1）求两粒子相遇点S（图中未画出）的坐标；
（2）求Q处发射粒子的速率v₂；
（3）P处发射粒子后，调节Q处发射粒子速率v₂的值，发现不管△t取何值，两粒子总不能相遇，求这种情形下v₂的值．

Answer 1

分析 （1）根据洛仑兹力充当向心力可明确粒子半径；再求得转动周期；根据题意即可明确相遇时转过的角度，则可明确相遇点的坐标；
（2）根据几何关系可求得Q处粒子的半径，再由洛仑兹力充当向心力即可求得粒子速率；
（3）根据题意明确如何才能使两粒子不会相遇，再由洛仑兹力充当向心力即可求得粒子速率．

解答 解：（1）由洛仑兹力充当向心力可得：
Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
P粒子半径为：R_P=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{3×1{0}^{4}}{0.05}$×$\frac{1}{2×1{0}^{7}}$=0.03m；
周期为：T=$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2π}{0.05}×\frac{1}{1.0×1{0}^{7}}$=2π×10^-6s
经t=$\frac{127π}{180}$×10^-6s后，转动周期数为：n=$\frac{\frac{127π}{180}}{2π}$=$\frac{127}{360}$T；
故说明P粒子转动127度后与Q粒子相遇；由几何关系可知；交点竖直方向运动位移为：y=Rsin53°=0.03×0.8cm=0.024m；
水平方向离圆心的距离为：x=Rcos53°=0.03×0.6=0.018cm；
则x方向离O点距离为：0.03-0.018=0.012m
故坐标为：（-0.012，0.024）
（2）由几何关系可知，Q粒子的半径有：R′+R′cos37°=0.06+0.012
解得：R′=0.04m；
则由Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
v₂=$\frac{BqR}{m}$=0.05×0.04×2.0×10⁷=4×10⁴m/s；
（3）根据题意可知，要使两粒子无论怎样取时间差值，都不能相遇； 若速度较小，则两圆外切，若速度较大，则两圆内切；
则Q粒子的半径应大于等于0.06m或小于等于0.03m；
则可得：v₂＜$\frac{BqR}{m}$=0.05×0.03×2.0×10⁷=3×10⁴m/s或
v₂＞$\frac{BqR}{m}$=0.05×0.06×2.0×10⁷=6×10⁴m/s；
答：（1）求两粒子相遇点S（图中未画出）的坐标为（-0.012，0.024）
（2）求Q处发射粒子的速率v₂为4×10⁴m/s
（3）P处发射粒子后，调节Q处发射粒子速率v₂的值，发现不管△t取何值，两粒子总不能相遇，这种情形下v₂的值应大于等于6×10⁴m/s或小于等于3×10⁴m/s

点评 本题属于带电粒子在磁场中的运动问题，里面涉及两个粒子的运动情况；从而增大了难度；但是只要明确洛仑兹力充当向心力及几何关系的正确应用，通过认真分析是可以顺利求解的．