Question

六个相同的电阻（阻值均为）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图复16-5-1所示。现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为 、、┅。

现将的1、3、5三点分别与的2、4、6三点用导线连接，如图复16-5-2所示。然后将的1、3、5三点分别与的2、4、6三点用导线连接，┅ 依此类推。最后将的1、3、5三点分别连接到的2、4、6三点上。

1．证明全部接好后，在上的1、3两点间的等效电阻为。

2．求全部接好后，在上的1、3两点间的等效电阻。

    

Answer 1

解法一：

1．（1）电阻图变形．

此题连好的线路的平面图如图预解16-5-1所示．

现将电阻环改画成三角形，1、3、5三点为顶点，2、4、6三点为三边中点，如图预解1—5-2与图预解16-5-3所示．整个连好的线路相当于把的三个顶点分别接到的三个中点上，图预解16-5-1变为图预解16-5-4．这样第1问归结为求图预解16-5-4中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。

   

（2）递推公式．

为使图形简化，讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为的电阻构成一个三角环，将其顶点接在另一由六个阻值为的电阻构成的三角环的中点上（如图预解16-5-5所示）。

图预解16-5-6是由六个阻值为的电阻构成的三角环。若图预解16-5-5顶点1、3间的电阻与图预解16-5-6顶点l、3间的电阻阻值相等，我们称图预解16-5-6中的为等效单环电阻．

用符号“//”表示电阻的并联，如

           

由图预解16-5-5中的对称性可知l、3两顶点间的电阻等于图预解16-5-7中1、0间的电阻的2倍，即

       

                                        （1）

同理，图预解16-5-6中1、3两顶点间的电阻为

                                 （2）

由（1）、（2）式得等效单环电阻为

                                        （3）

2. 第一问

现在考虑把、、、、按相反的次序，由内向外依次连接的情况．首先将接在外面，求双环的等效单环电阻〔即（3）式中的〕．这时．由（3）式得到为

            

其次，在双环外面接上，这时．三环的等效单环电阻为

            

由此可得一般公式，环的等效单环电阻可由求出

                                        （4）

于是

               

           

由（2）式得出由一个环（）、两个环（）直至五个环（）构成的线路1、3点间的电阻为

               

               

               

               

               

答：所求的五个环的1与3间的等效电阻确为．证毕。

3. 第二问

根据五个组成的圆柱形网络的对称性，的l、3两点等价于的2、4两点．等价线路如图预解16-5-8与图预解16-5-9所示．设二图等价，求图预解16-5-9中的即可．

   

 

所以

答：所求值为。

解法二：

第一问

图预解16-5-3可看做的接线图，其一半如图预解16-5-10所示，竖直粗线为一短路线．一个环（）构成线路的1与0点间的阻值用表示，根据对称性，。

          

当接入后，由两个环（类似图预解16-5-5）构成线路图的一半如图预解16-5-11所示．三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形（）中的2与间的阻值就是图预解16-5-10中1与0间的阻值。其等效电路如图预解16-5-12所示．图预解16-5-11（或图预解16-5-12）中的l与0点间的阻值用表示．有

      

再将双环接入，其一半如图预解16-5-13所示，三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻，其2与间的阻值就对应为，参看图预解16-5-12的等效电路，得

       

同理，得

              

由此得     

第二问

五个电阻环构成线路后，最外层环（）上2点与4点间的等效电阻可借用图预解16-5-12求得，将图中换成，五个环构成的线路中2与4间阻值可如下求得：

因

故