Question

11．如图，横截面半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO′匀速转动，筒内壁有一质量为m的小物块随筒一起转动，筒上同一竖直线上有两个小孔A和B，其中A孔距筒上端的高度为r，P点处于筒上端所在水平面内与筒的距离为4r．小球从P点抛出，初速度方向水平正对转轴OO′，到达圆筒处恰好从A孔进入桶内，一段时间后又恰好从B孔离开，整个过程没有碰到圆筒，小球和筒内壁上的小物块都可视为质点．不计空气阻力，取重力加速度为g．求：
（1）小球抛出的初速度v₀的大小；
（2）B孔距筒上端的高度h_B．
（3）小物块随筒转动过程所受向心力至少多大？

Answer 1

分析 （1）从抛出点到A点做平抛运动，根据平抛运动的特点求得初速度；
（2）假设转动半周从B点离开，根据平抛运动求得高度；
（3）根据转动半周所需时间，求得作圆周运动的周期，有F=$\frac{4{π}^{2}mr}{{T}^{2}}$求得支持力

解答 解：（1）到达A点时，下降的高度为r，则r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向4r=v₀t
解得：${v}_{0}=2\sqrt{2gr}$
（2）假设恰好转动半周从B点离开6r=v₀t₁
$r+{h}_{Ab}=\frac{1}{2}{gt}_{1}^{2}$
联立解得：${h}_{AB}=\frac{5}{4}r$
（3）从A点射入，至少转半周，用的时间为：△t=t₁-t
圆筒转动的周期为：T=2△t，此时周期最大，故筒对物体的支持力最小
F=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r=\frac{8mg{π}^{2}}{7}$
答：（1）小球抛出的初速度v₀的大小为$2\sqrt{2gr}$；
（2）B孔距筒上端的高度h_B为$\frac{5}{4}r$
（3）小物块随筒转动过程所受向心力至少为$\frac{8mg{π}^{2}}{7}$

点评 本题主要考查了平抛运动，关键是抓住在水平方向匀速，竖直方向自由落体即可解决