Question

有一质量为M、长度为l的矩形绝缘板放在光滑的水平面上，另一质量为m、带电量的绝对值为q的物块（视为质点），以初速度v₀从绝缘板的上表面的左端沿水平方向滑入，绝缘板周围空间是范围足够大的匀强电场区域，其场强大小E=

3mg

5q

，方向竖直向下，如图所示．已知物块与绝缘板间的动摩擦因数恒定，物块运动到绝缘板的右端时恰好相对于绝缘板静止；若将匀强电场的方向改变为竖直向上，场强大小不变，且物块仍以原初速度从绝缘板左端的上表面滑入，结果两者相对静止时，物块未到达绝缘板的右端．求：
（1）场强方向竖直向下时，物场在绝缘板上滑动的过程中，系统产生的热量；
（2）场强方向竖直向下时与竖直向上时，物块受到的支持力之比；
（3）场强方向竖直向上时，物块相对于绝缘板滑行的距离．

Answer 1

分析：（1）滑块与矩形绝缘板系统受外力的矢量和为零，系统动量守恒，根据动量守恒定律可求解末速度；
对两次相对滑动过程根据功能关系列式求解即可；
（2）电场反向后，电场力也反向，由于第一次滑到矩形绝缘板右边缘，故第二次一定不到右边缘，故可以判断出两次的电场力方向，进一步判断两次的物块受到的支持力情况；
（3）根据功能关系列式判断场强方向竖直向上时，物块相对于绝缘板滑行的距离．

解答：解：（1）场强方向竖直向下时，由系统动量守恒，有：
mv₀=（m+M）v                   ①
由能量守恒，有：
Q1=Ff1s1=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(m+M)v2      ②
其中Q表示产生热量，F_f表示m与M间的摩擦力，s表示m与M相对位移，v表示A、B共同速度；
由①②式得：Q1=

mM v 2 0

2(m+M)

         ③
同理，场强方向竖直向上时，动量仍守恒，可推出：
Q₂=Q1=Ff2s2=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(m+M)v2=

mM v 2 0

2(m+M)

   ④
∴Ff1s1=Ff2s2                               ⑤
依题意：s₁＞s₂，故Ff1＞Ff2
而F_f=μF_N ⑥
∴FN2＞FN1
说明第一次电场力方向竖直向上，第二次电场力方向竖直向下（可判断物块带负电）．
（2）∵FN1=mg-qE            ⑦
FN2=mg+qE                  ⑧
由已知E=

3mg

5q

，得

FN1

FN2

=

1

4

       ⑨
（3）由⑤⑥⑨得：s2=

1

4

s1=

1

4

l    ⑩
答：（1）场强方向竖直向下时，物场在绝缘板上滑动的过程中，系统产生的热量为

mM v 2 0

2(m+M)

；
（2）场强方向竖直向下时与竖直向上时，物块受到的支持力之比为1：4；
（3）场强方向竖直向上时，物块相对于绝缘板滑行的距离为

1

4

l．

点评：本题关键根据动量守恒定律和功能关系列式后联立讨论，注意系统产生的热量是一定的，不难．