Question

3．如图所示，AB为固定在竖直面内、半径为R的四分之一圆弧形光滑轨道，其末端（B点）切线水平，且距水平地面的高度也为R．1、2两小滑块（均可视为质点）用轻细绳拴接在一起，在它们中间夹住一个被压缩的微小轻质弹簧．两滑块从圆弧形轨道的最高点A由静止滑下，当两滑块滑至圆弧形轨道最低点时，拴接两滑块的细绳突然断开，弹簧迅速将两滑块弹开，滑块2恰好能沿圆弧形轨道运动到轨道的最高点A．已知R=0.45m，滑块1的质量m₁=0.16kg，滑块2的质量m₂=0.04kg，重力加速度g取10m/s²，空气阻力可忽略不计．求：
（1）两滑块一起运动到圆弧形轨道最低点时速度的大小；
（2）滑块2被弹簧弹开时的速度大小；
（3）滑块1被弹簧弹开时的速度大小；
（4）滑块1被弹簧弹开时对轨道的压力大小；
（5）滑块1落地点到圆弧形轨道B点的水平距离；
（6）滑块1落至水平地面上时的速度大小；
（7）滑块1落至水平地面上时的速度；
（8）滑块1落地时重力做功的功率．

Answer 1

分析 （1）从A到B点的过程，根据动能定理求两滑块一起运动到圆弧形轨道最低点时速度的大小．
（2）滑块2从B到A点的过程，运用动能定理求解．
（3）根据动量守恒定律求滑块1被弹簧弹开时的速度大小．
（4）根据牛顿第二定律和第三定律结合求滑块1被弹簧弹开时对轨道的压力大小；
（5）滑块1离开轨道后做平抛运动，根据分位移的规律求水平距离．
（6）由分速度公式和速度合成求滑块1落至水平地面上时的速度大小．
（7）由分速度关系求滑块1落至水平地面上时的速度方向．
（8）根据P=mgv_y求滑块1落地时重力做功的功率．

解答 解：（1）从A到B点的过程，根据动能定理得：$（{m_1}+{m_2}）gR=\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）{v^2}$
解得，最低点速度大小：v=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.45}$=3.0m/s
（2）滑块2从B到A点的过程，由据动能定理得：
-m₂gR=0-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
代入数据解得：v₂=3m/s（方向水平向左）
（3）弹簧将两滑块弹开的过程，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律得
  （m₁+m₂）v=m₁v₁+m₂（-v₂）
即$（{m_1}+{m_2}）\sqrt{2gR}={m_1}{v_1}+{m_2}（-\sqrt{2gR}）$
代入数据解得：滑块1被弹簧弹开时的速度大小 v₁=4.5m/s（方向水平向右）
（4）滑块1被弹簧弹开时，根据牛顿第二定律得
  ${F_1}-{m_1}g={m_1}\frac{v_1^2}{R}$
代入得${F_1}-1.6=0.16×\frac{{4.5_{\;}^2}}{0.45}$
解得  F₁=8.8N
根据牛顿第三定律，滑块1被弹簧弹开时对轨道的压力大小 F'=F₁=8.8N
（5）滑块1离开轨道后做平抛运动，运动时间为 t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}$s=0.3s
滑块1落地点到圆弧形轨道B点的水平距离  s₁=v₁t₁=4.5×0.3=1.35m
（6）滑块1落至水平地面上时竖直发速度大小 v_y=gt₁=10×0.3=3m/s
水平分速度大小 v_x=v₀=4.5m/s
所以落地时的速度大小：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+4．{5}^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{13}$m/s
（7）设滑块1落至水平地面上时的速度与水平方向的夹角为α．
则 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{2}{3}$
得 α=$arctan\frac{2}{3}$
所以滑块1落至水平地面上时的速度大小为v=$\frac{3}{2}\sqrt{13}$m/s，方向斜右向下，与水平方向夹角为$arctan\frac{2}{3}$．
（8）滑块1落地时的重力功率：P_G=m₁gv_y=1.6×3=4.8W．
答：
（1）两滑块一起运动到圆弧形轨道最低点时速度的大小为3.0m/s．
（2）滑块2被弹簧弹开时的速度大小是3.0m/s．
（3）滑块1被弹簧弹开时的速度大小是4.5m/s．  
（4）滑块1被弹簧弹开时对轨道的压力大小是8.8N．  
（5）滑块1落地点到圆弧形轨道B点的水平距离是1.35m．  
（6）滑块1落至水平地面上时的速度大小是5.4m/s．  
（7）滑块1落至水平地面上时的速度大小是5.4m/s  方向与水平方向arctan$\frac{2}{3}$．
（8）滑块1落地时重力做功的功率是4.8W．

点评 解决本题首先要分析清楚物体的运动的情况，明确滑块在轨道上运动时，机械能守恒．也可以用动能定理直接计算滑块1落地时的速度大小．