Question

如图15(甲)所示,长为l、相距为d的两块正对的平行金属板AB和CD与一电源相连(图中未画出电源),B、D为两板的右端点.两板间电压的变化如图15(乙)所示.在金属板B、D端的右侧有一与金属板垂直的荧光屏MN,荧光屏距B、D端的距离为l.质量为m、电荷量为e的电子以相同的初速度v₀从极板左边中央沿平行极板的直线OO′连续不断地射入.已知所有的电子均能够从金属板间射出,且每个电子在电场中运动的时间与电压变化的周期相等.忽略极板边缘处电场的影响,不计电子的重力以及电子之间的相互作用.求:

   

(甲) (乙)

图15

(1)t=0和t=T/2时刻进入两板间的电子到达金属板B、D端界面时偏离OO′的距离之比.

(2)两板间电压U₀的最大值.

(3)电子在荧光屏上分布的最大范围.

Answer 1

(1)1∶3　(2)  (3) 

解析：(1)t=0时刻进入两板间的电子先沿OO′方向做匀速运动,即有v₀=T2=l2,而后在电场力作用下做类平抛运动,在垂直于OO′方向做匀加速运动,设到达B、D端界面时偏离OO′的距离为y₁,则?

t=T/2时刻进入两板间的电子先在T/2时间内做抛物线运动到达金属板的中央,而后做匀速直线运动到达金属板B、D端界面.设电子到达金属板的中央时偏离OO′的距离为y₂,将此时电子的速度分解为沿OO′方向的分量v₀与沿电场方向的分量v_E,并设此时刻电子的速度方向与OO′的夹角为θ,电子沿直线到达金属板B、D端界面时偏离OO′的距离为y₂′,则有

因此,y₁∶y₂′=1∶3.

(2)在t=(2n+1)T/2(n=0,1,2,…)时刻进入两板间的电子在离开金属板时偏离OO′的距离最大,因此为使所有进入金属板间的电子都能够飞出金属板,应满足的条件为y₂′≤,解得板间电压的最大值.

(3)设t=nT(n=0,1,2,…)时刻进入两板间的电子到达荧光屏上的位置与O′点的距离为Y₁;t=(2n+1)T/2(n=0,1,2,…)时刻进入两板间的电子到达荧光屏上的位置与O′点的距离为Y₂,电子到达荧光屏上分布在ΔY=Y₂-Y₁范围内.当满足y₂′=d2的条件时,ΔY为最大.根据题中金属板和荧光屏之间的几何关系,得到

因此电子在荧光屏上分布的最大范围为ΔY=Y₂-Y₁=y₂′-y₁=.