Question

13．如图所示，将一光滑圆轨道固定竖直放置，其中A点为圆轨道的最低点，B点为圆水平直径与圆弧的交点．一个质量为m的物体静置于A点，现用始终沿轨道切线方向、大小不变的外力F作用于物体上，使其沿圆轨道到达B点，随即撤去外力F，要使物体能在竖直圆轨道内维持圆周运动，外力F至少为（　　）

• A． $\frac{2mg}{π}$
• B． $\frac{3mg}{π}$
• C． $\frac{4mg}{π}$
• D． $\frac{5mg}{π}$

Answer 1

分析 物体恰好过最高点，知轨道支持力为零，根据牛顿第二定律求出小球在最高点的速度，从A到B运用动能定理求解B点的速度，撤去F后，由B到最高点机械能守恒，根据机械能守恒列式，联立即可求解F；

解答 解：物体由A点运动到B点的过程中，由动能定理可得W_F-mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²①；
因F是变力，对物体的运动过程分割，将$\widehat{AB}$划分成许多小段，则当各小段弧长△s足够小时，在每一小段上，力F可看做恒力，且其方向与该小段上物体位移方向一致，有W_F=F△s₁+F△s₂+…+F△s_i+…=F（△s₁+△s₂+…+△s_i+…）=F•$\frac{π}{2}$R②；
从B点起撤去外力F，物体的运动遵循机械能守恒定律，由于在最高点维持圆周运动的条件是mg≤m$\frac{v2}{R}$，即在圆轨道最高点处速度至少为$\sqrt{Rg}$．
故由机械能守恒定律得$\frac{1}{2}$mv_B²=mgR+$\frac{1}{2}m（\sqrt{Rg}）_{\;}^{2}$③；
联立①②③式得F=$\frac{5mg}{π}$．故D正确，ABC错误；
故选：D

点评 解决本题的关键掌握“绳模型”在最高点的临界情况，结合牛顿第二定律和动能定理进行求解．