Question

如图10所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，线能承受的最大拉力是9mg，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，现将小球拉直水平，然后由静止释放，小球在运动过程中，不计细线与钉子碰撞时的能量损失，不考虑小球与细线间的碰撞．

（1）若钉铁钉位置在E点，求细线与钉子碰撞前后瞬间，细线的拉力分别是多少？
（2）若小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，求钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值。

Answer 1

（1），（2） ≤x≤

试题分析：（1）小球释放后沿圆周运动，运动过程中机械能守恒，设运动到最低点速度为v，由机械能守恒定律得，碰钉子瞬间前后小球运动的速率不变，碰钉子前瞬间圆周运动半径为l，碰钉子前瞬间线的拉力为F₁，碰钉子后瞬间圆周运动半径为l/2，碰钉子后瞬间线的拉力为F₂，由圆周运动、牛顿第二定律得：，
得，
（2）设在D点绳刚好承受最大拉力，记DE=x₁，则：AD=
悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r₁=l－AD= l－
当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v₁，由牛顿第二定律有：F－mg=结合F≤9mg 
由机械能守恒定律得：mg (+r₁)= mv₁²
由上式联立解得：x₁≤
随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大．转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了．
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x₂，
则：AG=  r₂=l－AG= l－在最高点：mg≤
由机械能守恒定律得：mg (—r₂)= mv₂²联立得：x₂≥
钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值范围是： ≤x≤