Question

如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P，其质量m=2×10^-2 kg，电荷量q=0.2C．将弹簧拉至水平后，以初速度V₀=20m/s竖直向下射出小球P，小球P到达O点的正下方O₁点时速度恰好水平，其大小V=15m/s．若O、O₁相距R=1.5m，小球P在O₁点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10^-1 kg的静止绝缘小球N相碰．碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场．此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5m的圆周运动．小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10m/s²．那么，
（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？
（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度．
（3）若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角）．

Answer 1

（1）设弹簧的弹力做功为W，有：mgR+W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

①
                 代入数据，得：W=-2.05J　　　　　　　　　　　②
   （2）由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷．设P、N碰后的速度大小分别为v₁和V，
        并令水平向右为正方向，有：mv=±mv₁+MV③
       而：v1=

Bqr

m

④
       若P、N碰后速度同向时，计算可得V＜v₁，这种碰撞不能实现．P、N碰后瞬时必为反向运动．有：V=

mv+Bqr

M

⑤
       P、N速度相同时，N经过的时间为t_N，P经过的时间为t_P．设此时N的速度V₁的方向与水平方向的夹角为θ，
             有：cosθ=

V

V1

=

V

v1

⑥
                 gt_N=V₁sinθ=v₁sinθ⑦
              代入数据，得：tN=

3

4

s⑧
      对小球P，其圆周运动的周期为T，有：T=

2πm

Bq

⑨
      经计算得：t_N＜T，
     P经过t_P时，对应的圆心角为α，有：tP=

α

2π

T⑩
     当B的方向垂直纸面朝外时，P、N的速度相同，如图可知，有：α₁=π+θ
           联立相关方程得：tP1=

2π

15

s
     比较得，t_N≠t_P1，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同．
     当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有：a₂=π-θ，
      同上得：tP2=

π

15

，
     比较得，t_N≠t_p2，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同．
    （3）当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同，t_N=t_P=t，
    再联立④⑦⑨⑩解得：r=

[(2n+1)π+θ]m2g

B2q2sinθ

(n=0，1，2…)
    当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同t_N=t_P=t，
    同理得：r=

(π-θ)m2g

B2q2sinθ

，
    考虑圆周运动的周期性，有：r=

[(2n+1)π+θ]m2g

B2q2sinθ

(n=0，1，2…)（给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值）．
答：（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为-2.05J；（2）小球P、N碰撞后不能在某一时刻具有相同的速度；（3）r=

[(2n+1)π+θ]m2g

B2q2sinθ

(n=0，1，2…)（给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值）．