Question

（2008?湖北模拟）如图所示，滑块A的质量m=0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01kg，沿x轴排列，A与第1只小球及相邻两小球间距离均为s=2m，线长分别为L₁、L₂、L₃…（图中只画三只小球，且小球可视为质点），开始时，滑块以速度v₀=10m/s沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰，g取10m/s²，求
（1）滑块能与几个小球碰撞？
（2）求出碰撞中第n个小球悬线长L_n的表达式．
（3）滑块与第一小球碰撞后瞬间，悬线对小球的拉力为多大．

Answer 1

分析：（1）通过动能定理求出滑块能够向前滑动的距离，结合两球间的距离确定碰撞球的个数．
（2）根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度，通过机械能守恒定律求出最低点的速度，结合动能定理求出碰撞中第k个小球悬线长L_k的表达式．
（3）因为小球恰能做圆周运动，求出最高点的临界速度，通过机械能守恒定律求出最低点的速度，根据牛顿第二定律求出悬线对小球的拉力大小．

解答：解（1）因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，滑块与小球相碰撞会互换速度，小球在竖直平面内做圆周运动，机械能守恒，
设滑块滑行总距离为s₀，有
-μmgs₀=0-

1

2

m

v

2 0

   得s₀=25m
n=

s0

s

=12（个）  
（2）滑块与第n个小球碰撞，设小球运动到最高点时速度为

v′

n

对小球，有：mg=m

v′ 2 n

Ln

   ①
机械能守恒：

1

2

m

v

2 n

=

1

2

m

v′

2 n

+2mgL_n ②
对滑块，有：-μmgns=

1

2

m

v

2 n

-

1

2

m

v

2 0

  ③
解①②③三式得：L_n=

v 2 0 -2μgsn

5g

=2-

4n

25

 （m） 
（3）滑块做匀减速运动到第一个小球处与第一个小球碰前的速度为v₁，则有
-μmgs=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

 
由于滑块与小球碰撞时不损失机械能，则碰撞前后动量守恒、动能相等，滑块与小球相碰撞会互换速度，碰撞后瞬间小球的速度仍为v₁．
此时小球受重力和绳子的拉力作用，由牛顿定律得：
T-mg=m

v 2 1

L1

因为L₁=

50-4×1

25

=

46

25

由上述三式解得：T=0.6N   
答：（1）滑块能与12个小球碰撞．
（2）碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式是L_n=2-

4n

25

 （m） 
（3）滑块与第一小球碰撞后瞬间，悬线对小球的拉力为0.6N

点评：本题综合考查了牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律等规律，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．