Question

7．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似圆周，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常数为G．试求：
（1）月球的质量M．
（2）如果在月球表面做平抛运动实验，物体抛出时离地面高度为h（h远小于R），水平位移为L，则物体抛出时的初速度是多少？

Answer 1

分析 （1）“嫦娥一号”围绕月球做圆周运动过程中，月球对“嫦娥一号”的万有引和提供“嫦娥一号”的向心力，由此列式可以求出月球的质量M；
（2）在月球表面，月球对物体的万有引力等于月球表面的重力，由此列式得出月球表面的重力加速度g₀．然后由平抛运动的特点即可求出物体的初速度．

解答 解：（1）设“嫦娥一号”质量为m₁，圆周运动时，万有引力提供向心力，则有：
$\frac{{GMm{\;}_1}}{{{{（R+H）}^2}}}={m_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+H）$…①
所以：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+H）}^3}}}{{G{T^2}}}$…②
（2）设月球表面的重力加速度为g₀，质量为m的物体在月球表面的重力等于万有引力有：
$\frac{GMm}{R^2}=m{g_0}$…③
设平抛物体的初速度为υ₀，飞行时间为t，则有：$h=\frac{1}{2}{g_o}{t^2}$…④
L=υ₀t…⑤
由②③④⑤解得：${υ_0}=\frac{2πL（R+H）}{RT}\sqrt{\frac{R+H}{2h}}$…⑥
答：（1）月球的质量是$\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）如果在月球表面做平抛运动实验，物体抛出时离地面高度为h（h远小于R），水平位移为L，则物体抛出时的初速度是$\frac{2πL（R+H）}{RT}\sqrt{\frac{R+H}{2h}}$．

点评 该题考查万有引力定律的一般应用，能正确根据卫星运动时的向心力由万有引力提供和量球表面的重力和万有引力相等列式求解有关质量、重力加速度问题．