Question

6．竖直平面内的直轨道AB与$\frac{3}{4}$圆弧形轨道BCD在B处相切，半径OD=R与水平方向成45°角，如图所示，整个轨道光滑绝缘，质量为m的带电小球从直轨道上某点由静止开始沿轨道下滑，当小球下滑到B点时，在空间加上水平向左的匀强电场，场强大小为E，小球恰能沿圆弧轨道运动，至D后沿直线DP垂直打在直轨道上的P点．
（1）求小球由静止下滑的位置离圆弧轨道最低点的高度；
（2）若在小球从同一位置由静止下滑到B点时，在空间加上水平向右的匀强电场，场强大小仍为E，则小球能否沿圆弧轨道运动？若不能，简要说明理由；若能，试确定小球过D点后打在轨道上的位置到P点的距离．

Answer 1

分析 （1）抓住小球离开D点后做直线运动，得出电场力的方向以及电场力的大小，根据合力得出等效最高点，结合牛顿第二定律求出等效最高点的速度，通过动能定理求出小球由静止下滑的位置离圆弧轨道最低点的高度；
（2）确定出等效最高点，根据动能定理求出等效最高点的速度，与临界速度比较，判断能否沿圆弧轨道运动，若能，分析小球离开D点的运动规律，结合运动学公式求出小球过D点后打在轨道上的位置到P点的距离．

解答 解：（1）在空间加上水平向左的匀强电场，小球恰能沿圆弧轨道运动，过D后沿直线DP运动，垂直打在P点，可知合力的方向与DP在同一直线上，且沿DP方向，
过O点作出圆周运动的等效最高点E，如图所示．
根据平行四边形定则，结合合力的方向知，重力和电场力大小相等，
在等效最高点，根据牛顿第二定律得：$\sqrt{2}mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得等效最高点E的速度为：v=$\sqrt{\sqrt{2}gR}$，
根据动能定理得：mg（h-R-$\frac{\sqrt{2}}{2}R$）$-qE•\sqrt{2}R$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：h=（$2\sqrt{2}+1$）R．
（2）在空间加上水平向右的匀强电场，场强大小仍为E，则等效最高点在D点，D与E点等高．
同理等效最高点的速度的最小速度为：v′=$\sqrt{\sqrt{2}gR}$，
根据动能定理得：$mg（h-R-\frac{\sqrt{2}}{2}R）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：v₁=$\sqrt{\sqrt{3}gR}$＞v′，知小球能够沿圆弧轨道运动．
在D点，合力的方向与速度方向垂直，做类平抛运动，到达斜面的时间为：t=$\frac{R}{{v}_{1}}$，
则打在轨道上的位置到P点的距离为：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，a=$\frac{\sqrt{2}mg}{m}=\sqrt{2}g$，
联立解得：s=$\frac{\sqrt{6}}{6}R$．
答：（1）小球由静止下滑的位置离圆弧轨道最低点的高度为（$2\sqrt{2}+1$）R．
（2）小球过D点后打在轨道上的位置到P点的距离为$\frac{\sqrt{6}}{6}R$．

点评 本题考查了复合场的问题，确定出小球在圆轨道中运动的等效最高点是解决本题的关键，本题涉及到动能定理、牛顿第二定理、运动学公式、力的合成等知识点，涉及到圆周运动和类平抛运动，综合性较强，对学生的能力要求较高．