Question

11．中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年实现月面无人采样返回，为载人登月及月球基地选址做准备．在某次登月计划中，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只，B．弹簧秤一把，C．已知质量为m的钩码一个，D．天平一只（附砝码一盒）．“嫦娥”号飞船接近月球表面时，先绕月做匀速圆周运动，宇航员测量出绕行N圈所用时间为t，飞船的登月舱在月球上着陆后，宇航员利用所携带的仪器又进行第二次测量，已知万有引力常量为G，把月球看做球体．利用上述两次测量所得的物理量可求出月球的密度和半径．
（1）宇航员进行第二次测量的内容是什么．
（2）试推导月球的平均密度和半径的表达式（用上述测量的物理量表示）．

Answer 1

分析 （1）宇航员在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小g=$\frac{F}{m}$；
（2）飞船靠近月球表面做圆周运动有万有引力充当向心力和密度公式，即万有引力和重力的关系列式求解．

解答 解：①宇航员在月球上用弹簧秤竖直悬挂质量为m的钩码，静止时读出弹簧秤的读数F，即为钩码在月球上所受重力的大小．（或F/m即为月球表面重力加速度的大小）
②飞船靠近月球表面做圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
月球的平均密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$ 
在月球上忽略月球的自转时，对钩码有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=F
又 T=$\frac{t}{N}$，r=R，
由以上各式可得：月球的密度ρ=$\frac{3π{N}^{2}}{G{t}^{2}}$  
月球的半径 R=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{mN}^{2}}$
答：（1）宇航员进行第二次测量的内容是用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F．
（2）月球的平均密度和半径的表达式分别为ρ=$\frac{3π{N}^{2}}{G{t}^{2}}$，R=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{mN}^{2}}$．

点评 忽略自转的情况下万有引力等于物体所受的重力，这是经常用的方法要注意掌握．对于天体运动，关键建立模型，根据万有引力提供向心力列式方程，求解有关物理量．