Question

11．某实验小组为了研究装甲车的移动射击，使用了如图所示的模型车，已知其质量为M=16kg（不包括炮弹质量），炮车上仅有一枚质量m=1kg炮弹，炮管水平，炮口距水平路面的高h=0.8m，每次炮车发射炮弹时间极短，发射时火药的化学能转化为车和炮弹的动能的值E=544J．开始模型车静止在路面上时，其炮口在水平路面上的投影点为A点，水平路面上A、B两点间的距离为S=18.25m．（g取10m/s²）

（1）若模型车固定在地面上发射炮弹，求发射出的炮弹速度大小．
（2）若模型车原来静止在光滑的水平地面上，当它发射一颗炮弹后，车的反冲速度多大．
（3）若模型车从静止开始做匀加速直线运动，其加速度a=2m/s²，运动中车所受阻力为车重的k=0.8倍，某时刻撤去动力并发射炮弹，要使车停止时炮口在水平路面上的投影点只能位于A、B两点之间，求炮弹的落地点到A点距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若模型车固定在地面上发射炮弹，化学能全部转化为炮弹的动能，由功能关系即可求出发射出的炮弹速度大小．
（2）若模型车原来静止在光滑的水平地面上，当它发射一颗炮弹的过程中，化学能转化为炮弹的动能和小车的动能，由功能关系和动量守恒定律即可求出车的反冲速度多大．
（3）若模型车从静止开始做匀加速直线运动，某时刻撤去动力并发射炮弹后，要使车停止时炮口在水平路面上的投影点只能位于A、B两点之间，则其临界状态分别对应A点与B点，分别求出两种情况下小车的运动时间，与发射炮弹时小车的速度，然后结合动量守恒定律与功能关系即可求出炮弹的落地点到A点距离的取值范围．

解答 解：（1）若模型车固定在地面上发射炮弹，化学能全部转化为炮弹的动能，由功能关系得：
E=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据得：v₀=33.0m/s
（2）若模型车原来静止在光滑的水平地面上，当它发射一颗炮弹的过程中，化学能转化为炮弹的动能和小车的动能，由功能关系
得：E=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
由于发射的时间短，水平方向小车与炮弹组成的系统满足动量守恒，选择炮弹的方向为正方向，则根据动量守恒定律得：
mv₁+Mv₂=0
代入数据得：v₂=2m/s
（3）若模型车从静止开始做匀加速直线运动，某时刻撤去动力并发射炮弹后，要使车停止时炮口在水平路面上的投影点只能位于A、B两点之间，则其临界状态分别对应A点与B点；车在发射完炮弹后受到地面的阻力，由于运动中车所受阻力为车重的0.8倍，所以：Ma′=kMg，所以：a′=kg=0.8×10=8m/s²
①当小车恰好返回A点时，设车的最大速度为v，此时的位移为x，则：2ax=v²-0．
设发射完炮弹后车的速度为v₃，炮弹的速度为v₄，则根据动量守恒定律得：
（M+m）v=Mv₃+mv₄
由功能关系得：
$\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}+E$
对应小车返回的过程，由运动学公式得：$2a′（-x）=0-（-{v}_{3}）^{2}$
联立以上各式，代入数据得：$v=\frac{2}{3}$m/s，v₄=32.7m/s，x=0.11m
炮弹做平抛运动的过程中，运动的时间：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}=0.4$s
炮弹平抛的位移：x′=v₄t=32.7×0.4=13.08m
则炮弹到A点的距离：x_总=x+x′=0.11+13.08=13.19m
②当小车恰好到达B点时，设车的最大速度为v′，此时的位移为x₁，则：$2a{x}_{1}={v′}^{2}-0$．
设发射完炮弹后车的速度为v₅，炮弹的速度为v₆，则根据动量守恒定律得：
（M+m）v′=Mv₅+mv₆
由功能关系得：
$\frac{1}{2}M{v}_{5}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{6}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v′}^{2}+E$
发射完炮弹后小车继续前进x₂，则：x₁+x₂=S=18.25m
对应小车继续前进的过程，由运动学公式得$2a′{x}_{2}=0-{v}_{5}^{2}$
联立以上5个公式，代入数据得：v′=8m/s，v₅=6m/s，v₆=40m/s，x₁=16m
炮弹平抛的位移：x″=v₆t=40×0.4=16m
则炮弹到A点的距离：x_总′=x₁+x″=16+16=32m
结合①②可得，炮弹的落地点到A点距离的取值范围是13.19m≤x_总≤32m
答：（1）若模型车固定在地面上发射炮弹，发射出的炮弹速度大小是33.0m/s．
（2）若模型车原来静止在光滑的水平地面上，当它发射一颗炮弹后，车的反冲速度是2m/s．
（3）若模型车从静止开始做匀加速直线运动，要使车停止时炮口在水平路面上的投影点只能位于A、B两点之间，求炮弹的落地点到A点距离的取值范围是13.19m≤x_总≤32m．

点评 该题基于车、炮模型设置了几种不同的情景考查动量守恒定律，其中前两种情况为常见的题型，该题的难度在第三问，要注意题目设置的临界条件，尤其是在发射完炮弹后小车进行向前运动的情景，不仅仅涉及的过程多，而且运算量也特别大，这进一步增大了试题的难度，要求在解答的过程中，一定要沉住气，仔仔细细地解答．