Question

13．如图所示，a、b为环绕某红矮星运动的行星，a行星的运行轨道为圆轨道，b行星的运行轨道为椭圆轨道，两轨道和红矮星都在同一平面内．已知a行星的公转周期为18天，则下列说法正确的是（　　）

• A． b行星的公转周期大于18天
• B． b行星在轨道上运行的最大速度小于a行星的速度
• C． 若已知b行星轨道半长轴，可求得红矮星的密度
• D． 若已知a行星的轨道半径，可求得红矮星的质量

Answer 1

分析 根据开普勒第三定律$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=K$分析周期，根据万有引力提供向心力可以求红矮星质量．

解答 解：A、根据开普勒第三定律$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=K$，因为a行星的轨道半径比b行星的椭圆轨道的半长轴大，所以a行星的周期大．故A错误．
B、b行星近地点的速度最大，大于过近地点的圆轨道速度，而过近地点的圆轨道速度大于a行星的速度，所以b行星的最大速度大于a行星的速度，故B错误、
C、仅知道b行星轨道半长轴，不知道a行星的半径，求不出红矮星的质量，无法求得密度，故C错误
D、根据$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，已知a的周期和轨道半径，可以求红矮星的质量，故D正确
故选：D

点评 本题关键是明确行星圆周运动的向心力来源，结合开普勒定律、万有引力定律、牛顿第二定律列式分析，不难．