Question

20．如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，理想电流表与导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直，质量为m、有效电阻为R导体棒在距磁场上边界h处静止释放．导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终达到稳定值．从导体棒开始运动到电流达到稳定值的过程中，电路中产生的热量与电流稳定时导体棒的动能相等，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，匀强磁场感应强度为B，重力加速度为g，不计导轨的电阻．求：
（1）电流的稳定值；
（2）电流稳定后，导体棒运动速度的大小；
（3）电流达到稳定值时，导体棒在磁场中下落的高度．

Answer 1

分析 （1）由题，导体棒进入磁场后，最终做匀速运动，电流达到稳定值I，根据平衡条件和安培力公式求I；
（2）由感应电动势E=BLv、感应电流I=$\frac{E}{R}$结合（1）中结果，求解v；
（3）导体棒下降到电流稳定时的过程中，棒的重力势能转化为导体棒的动能和焦耳热，由能量守恒定理可求得；

解答 解：（1）电流稳定后，导体棒做匀速运动，安培力与重力平衡，则有：BIL=mg…①
解得：I=$\frac{mg}{BL}$…②
（2）感应电动势为：E=BLv…③
感应电流为：I=$\frac{E}{R}$…④
由②③④式解得：v=$\frac{{I}^{2}R}{mg}$=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）导体棒下降到电流稳定时的过程中，棒的重力势能转化为导体棒的动能和焦耳热，
设导体棒在磁场中下落为H，由能量守恒定理得：$mg（H+h）=Q+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
电路中产生的热量与电流稳定时导体棒的动能相等，
即：mg（H+h）=mv²，
将v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$带入，解得：H=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}-h$，
答：（1）电流的稳定值$\frac{mg}{BL}$；
（2）电流稳定后，导体棒运动速度的大小为$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）电流达到稳定值时，导体棒在磁场中下落的高度为$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}-h$．

点评 本题分析导体棒的运动情况是解题的基础，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力等等电磁学常用的规律结合能量守恒定律求解．