Question

【题目】如图，两条竖直放置平行导轨间距为L1。导轨上端接有一平行板电容器，电容器两极板竖直，长为L2，两极板的距离为d，电容器的电容为C。在电容器的正上方有一个屏，屏与极板上端的距离为L3，电容器下方有一个带小孔O的金属板板上的O点与屏上的O1点处在一条竖直线上。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。在导轨上放置一质量为M的金属棒，让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。同时一束质量为m、电荷量为+q的带电粒子，以相同竖直速度v0从电容器下方金属板小孔O点射入电容器，每一个带电粒子在电容器中运动时电容器之间电场可看作匀强电场，且两板外无电场。重力加速度大小为g。忽略所有电阻和摩擦及带电粒子的重力。求：

(1)经过时间t电容器极板上积累的电荷量；

(2)经过时间t金属棒下降的高度；

(3)t时刻从小孔O射入电容器的带电粒子打到屏上的位置O2与O1点的距离。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

电容器两端的电压等于导体棒两端的电压，根据法拉第电磁感应定律和电容的计算公式求解；根据动量定理和q=It结合电容的计算公式列方程可得加速度a为定值，由此判断金属棒的运动情况；带电粒子在电场中做类平抛运动，由运动的分解结合运动学公式求得偏转距离.

经时间t，金属棒下滑的速度大小为v，通过金属棒的电流为i，

则感应电动势E=BL1v，

电容器极板上的电荷量为Q=CU=CE=CBL1v，

金属棒受到的磁场的安培力为F，方向沿竖直向上，大小为：F=BL1i

电流：

对于金属棒受力重力mg和安培力F，做匀加速直线运动

由牛顿第二定律：

联立解得：

(1)经时间t电容器极板上积累的电荷量：

(2)经时间t金属棒下降的高度：

(3)t时刻电容器两板间的电压：

t时刻进入电容器的带电粒子在电容器之间运动时间：

带电粒子在电容器之间运动的加速度

带电粒子离开电容器时的偏转角的正切值：

t时刻从小孔O射入电容器的带电粒子打到屏的位置O2与O1间的距离

联立以上各式可得：