Question

如图4-4-13所示，两根细绳AC、BC系一个质量为0.1kg的小球，绳AC长为l=2m，两绳都拉直时与竖直轴夹角分别为30°和45°.试分析小球随竖直轴转动的角速度ω在什么范围内，两绳始终拉紧？当ω=3rad/s时,两绳拉力各为多大？（取g=10m/s²）

图4-4-13

Answer 1

解析：由题意可看出，当小球角速度很小时，小球离心趋势小，只有绳AC拉紧，当小球角速度很大时，小球离心趋势大，只有绳BC拉紧，此两种情况小球所需向心力

由两绳拉力分别与重力的合力提供，据牛顿第二定律与圆周运动知识可求得角速度的最小值与最大值，从而确定两绳同时拉紧时的角速度范围.当ω=3 rad/s时，首先判断是哪根绳子拉紧或者是同时拉紧，进而判断向心力来源，据牛顿第二定律与圆周运动知识列方程求得两绳拉力.

   两绳张紧时，小球受重力mg、AC绳拉力F₁和BC绳拉力F₂如图所示.若角速度由0逐渐增大时，会出现两种临界情况.

（1）BC绳恰好拉直，F₂=0，此时角速度为ω₁，F₁和mg的合力提供小球在半径r₁=lsin30°的圆周上运动所需向心力，mgtan30°=mrω₁²,联立以上两式且代入数据得ω₁=2.4 rad/s

AC绳仍拉直，但F₁=0，此时角速度为ω₂，F₂和mg的合力提供向心力，mgtan45°=mr₂ω²，r₂=r₁=lsin30°,联立解得ω₂=3.2 rad/s，要使两绳始终张紧，角速度的取值范围为2.4 rad/s≤ω≤3.2 rad/s.

（2）当ω=3 rad/s时，F₁和F₂同时存在，对小球应用牛顿第二定律有：

F₁sin30°+F₂sin45°=mlsin30°ω²,F₁cos30°+F₂cos45°-mg=0，两式联立且代入数据解得F₁=0.27 N,F₂=1.1 N.