Question

9．如图所示，木板右端BC段为$\frac{1}{4}$光滑圆弧且静止在光滑水平面上，木板AB段的上表面与圆弧的最低点相切，木板的左端A有一可视为质点的小铁块．现突然给铁块水平向右的初速度v₀，铁块到达木板B位置时速度变为原初速度的一半，之后继续上滑并刚好能到达圆弧的最高点C．若木板质量为2m，铁块的质量为m，重力加速度为g．求：
（1）小铁块滑到B位置时木板的速度；
（2）小铁块到达C位置时两者的共同速度；
（3）光滑圆弧面的半径．

Answer 1

分析 （1）铁块与木板在水平方向动量守恒，应用动守恒定律可以求出木板的速度．
（2）木板与小铁块在水平方向系统动量守恒，应用动量守恒定律可以求出铁块到达C时的共同速度．
（3）铁块从B到C过程系统机械能守恒，对系统应用机械能守恒定律可以求出圆弧面的半径．

解答 解：（1）先以木板和铁块为系统，水平方向不受外力，所以动量守恒，设初速度方向为正方向，
在水平方向，由动量守恒定律得：mv₀=m$•\frac{{v}_{0}}{2}$+2mv₁，解得铁块滑上B位置瞬间木板的速度为：v₁=$\frac{1}{4}$v₀；
（2）当铁块到达圆弧的最高点时，BC的共同速度为v₂，以向右为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得：
m$\frac{{v}_{0}}{2}$+2m$\frac{{v}_{0}}{4}$=3mv₂，
解得：v₂=$\frac{{v}_{0}}{3}$；
（3）木块和铁块组成的系统中只有重力做功，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m$（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$•2m$（\frac{{v}_{0}}{4}）^{2}$=$\frac{1}{2}$•3m$（\frac{{v}_{0}}{3}）^{2}$+mgR，
解得：R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{48g}$；
答：（1）小铁块滑到B位置时木板的速度大小为$\frac{1}{4}$v₀；
（2）小铁块到达C位置时两者的共同速度大小为$\frac{{v}_{0}}{3}$；
（3）光滑圆弧面的半径为$\frac{{v}_{0}^{2}}{48g}$．

点评 解决本题的关键是抓住系统水平方向动量守恒，再根据无摩擦运动系统机械能守恒，掌握解决问题的思路是正确解题的关键．