Question

7．星际探测是现代航天科技发展的重要课题，我国将发射探测器进行星际探测．如图，某探测器从空间的O点沿直线ON从静止开始以加速度a作匀加速直线运动，两个月后与地球相遇于P点，再经两个月与地球相遇于Q点，已知引力常量G，地球公转周期为T（12个月），忽略所有天体对探测器的影响，把地球绕太阳的运动看做匀速圆周运动．根据上述信息，估算出：
（1）OP之间的距离L；
（2）太阳的质量M．（答案用题中给出的已知量代号和数据表示）

Answer 1

分析 地球绕太阳做匀速圆周运动，由太阳的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和向心力公式列式得到地球的公转周期与半径的关系式；
对于探测卫星从静止开始以加速度a作匀加速直线运动，根据运动学公式可求得PQ间的距离与地球公式周期的关系．由几何知识得到：PQ对应的圆心角，得到地球公转半径与PQ的关系，即可联立求得太阳的质量．

解答 解：（1）对探测卫星从静止开始以加速度a作匀加速直线运动，则OP之间的距离为：
L=$\frac{1}{2}$a${（\frac{T}{6}）}^{2}$=$\frac{{aT}^{2}}{72}$，
（2）对地球：由太阳的万有引力提供向心力，则有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$…①
得：M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$…②
对探测卫星从静止开始以加速度a作匀加速直线运动，则有：
PQ=OQ-OP=$\frac{1}{2}$a${（\frac{T}{3}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$a${（\frac{T}{6}）}^{2}$=$\frac{{aT}^{2}}{24}$…③
二个月为$\frac{1}{6}$T，则PQ所对的圆心角为：θ=60°…④
由几何关系得：r=PQ
代入上式得：M=$\frac{{π}^{2}{a}^{3}{T}^{4}}{3456G}$
答：（1）OP之间的距离是$\frac{{aT}^{2}}{72}$；
（2）太阳的质量是$\frac{{π}^{2}{a}^{3}{T}^{4}}{3456G}$．

点评 本题是万有引力与匀变速运动的综合，关键找出地球与探测器之间的时间关系，运用几何知识得到PQ与r的关系．