Question

(20分)如图所示，有n个相同的货箱沿同一条直线停放在倾角为θ的斜面上，每个货箱长皆为l，质量皆为m，相邻两货箱间距离为l，最下端的货箱到斜面底端的距离也为l．现给第1个货箱一适当的初速度v₀，使之沿斜面下滑，在每次发生正碰后（碰撞时间很短），发生碰撞的货箱都粘合在一起运动，当动摩擦因数为μ时，最后第n个货箱恰好停在斜面底端．求：

(1)第一个货箱碰撞第二个货箱前瞬间的速度v₁；
(2)设第一次碰撞过程中系统损失的机械能为，第一次碰撞前的瞬间第一个货箱的动能为，求的比值；
(3)整个过程中由于碰撞而损失的机械能．

Answer 1

（1）（2） （3）

（1）由于第个货箱被碰后，运动到斜面底端停下，表明货箱沿斜面做减速运动，设第一个货箱的加速度为，由牛顿第二定律，得
 解得（3分）
又因为：             （2分）
得：（2分）
（2）第一，二两货箱碰撞过程中动量守恒，即
（2分）
上述过程中损失的机械能为（2分）
而（1分）
联立以上各式，得（2分）
（3）加速度与质量无关，说明每次碰后货箱沿斜面下滑的加速度大小均为，方向沿斜面向上．在整个过程中，序号为1，2，3，…，的货箱沿斜面下滑的距离分别为nl，（n－1）l，（n－2）l，…，l，因此，除碰撞瞬间外，各货箱由于滑动而产生的摩擦热为
（2分）
货箱的重力势能的减少量为
（2分）
全过程中，由能量守恒定律，得
，   则
（2分）