Question

3．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=1.0m，现有一个质量为m=0.5kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE距离h=0.8m，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.25．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）物体第一次运动到D点的速度大小
（2）物体第一次通过C点时轨道对物体的支持力F_N的大小；
（3）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L_AB至少要多长．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒可求得物体在C点的速度；
（2）C点物体做圆周运动，则由牛顿第二定律充当向心力可求得支持力；
（3）要使物体不飞出，则到达A点时速度恰为零，则由动能定理可求得AB的长度．

解答 解：（1）物体从E到D，由机械能守恒得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv_D²①
解得：v_D=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s②
（2）物体从E到C由机械能守恒得：mg（h+R）=$\frac{1}{2}$mv_c²  ③
在C点，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$④
解得支持力 F_N=23N    ⑤
（3）在物体运动过程EDCA过程中，由动能定理得
mg[（h+Rcos37°）-L_ABsin37°]-μmgcos37°L_AB=0    ⑥
解得斜面长度至少为：L_AB=2.0 m      
答：（1）物体第一次运动到D点的速度大小为4m/s
（2）物体第一次通过C点时轨道对物体的支持力F_N的大小为23N；
（3）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L_AB至少要为2.0m．

点评 本题考查动能定理以及机械能守恒定律的应用，在考查力学问题时，常常将动能定理、机械能守恒及牛顿第二定律等综合在一起进行考查，并且常常综合平抛、圆周运动及匀变速直线运动等运动的形式．