Question

19．如图所示为一真空示波管，电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A板间的加速电压U₁加速，从A板中心孔沿中心线射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点．已知加速电压为U₁，M、N两板间的电压为U₂，两板间的距离为d，板长为L₁，板右端到荧光屏的距离为L₂，电子的质量为m，电荷量为e．求：
（1）电子穿过A板时的速度大小；
（2）电子从偏转电场射出时的侧移量；
（3）P点到O点的距离．

Answer 1

分析 （1）电子在加速电场U₁中运动时，电场力对电子做正功，根据动能定理求解电子穿过A板时的速度大小；
（2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，根据粒子受力和运动时间求出侧向位移量；
（3）粒子离开偏转电场后做匀速直线运动，水平方向做匀速直线运动求出运动时间，竖直方向亦做匀速直线运动由时间和速度求出偏转位移，再加上电场中的侧位移即为OP的距离．

解答 解：（1）粒子在加速电场中只有电场力做功，根据动能定理有：
$e{U}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-0$
电子穿过A板时的速度大小为：$v=\sqrt{\frac{2e{U}_{1}^{\;}}{m}}$
（2）电子进入偏转电场后，在电场力作用下做类平抛运动，令电子运动时间为t₁，电子在水平方向做匀速直线运动故有：
vt₁=L₁
得电子在偏转电场中的运动时间为：
${t}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{1}^{\;}}{v}={L}_{1}^{\;}\sqrt{\frac{m}{2e{U}_{1}^{\;}}}$
在竖直方向电子做初速度为0的匀加速运动，已知偏电压为U₂，极板间距为d，则电子在偏转电场中受到的电场力为：
$F=eE=e\frac{{U}_{2}^{\;}}{d}$
由牛顿第二定律知，电子产生的加速度为：
$a=\frac{F}{m}=\frac{e{U}_{2}^{\;}}{dm}$
所以电子在偏转电场方向上的侧位移为：y=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}\frac{e{U}_{2}^{\;}}{dm}×{L}_{1}^{2}\frac{m}{2e{U}_{1}^{\;}}$=$\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{2}}{4d{U}_{1}^{\;}}$
（3）由（2）分析知，电子离开偏转电场时在竖直方向的速度为：${v}_{y}^{\;}=at=\frac{e{U}_{2}^{\;}}{md}•{L}_{1}^{\;}\sqrt{\frac{m}{2e{U}_{1}^{\;}}}$
电子离开偏转电场后做匀速直线运动，电子在水平方向的分速度${v}_{x}^{\;}=v=\sqrt{\frac{2e{U}_{1}^{\;}}{m}}$，产生位移为L₂，电子运动时间
${t}_{2}^{\;}=\frac{{L}_{2}^{\;}}{{v}_{x}^{\;}}=\frac{{L}_{2}^{\;}}{\sqrt{\frac{2e{U}_{1}^{\;}}{m}}}={L}_{2}^{\;}\sqrt{\frac{m}{2e{U}_{1}^{\;}}}$
电子在竖直方向的分速度为：${v}_{y}^{\;}=\frac{e{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}}{md}\sqrt{\frac{m}{2e{U}_{1}^{\;}}}$
产生位移为：${y}_{2}^{\;}={v}_{y}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{e{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}}{md}\sqrt{\frac{m}{2e{U}_{1}^{\;}}}×{L}_{2}^{\;}\sqrt{\frac{m}{2e{U}_{1}^{\;}}}$=$\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}}{2{U}_{1}^{\;}d}$
所以电子偏离0点的距离为：OP=${y}_{1}^{\;}+{y}_{2}^{\;}=\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{2}}{4d{U}_{1}^{\;}}+\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}}{2d{U}_{1}^{\;}}$=$\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}（{L}_{1}^{\;}+2{L}_{2}^{\;}）}{4d{U}_{1}^{\;}}$
答：（1）电子穿过A板时的速度大小$\sqrt{\frac{2e{U}_{1}^{\;}}{m}}$；
（2）电子从偏转电场射出时的侧移量$\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{2}}{4d{U}_{1}^{\;}}$；
（3）P点到O点的距离$\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}（{L}_{1}^{\;}+2{L}_{2}^{\;}）}{4d{U}_{1}^{\;}}$．

点评 能根据动能定理求电子加速后的速度，能根据类平抛运动计算电子在电场中偏转的位移和速度，这是解决本题的关键，本题难点是全部是公式运算，学生不适应．本题难度适中．