Question

（2008?深圳二模）如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为-q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：
（1）微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间．
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间．
（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．

Answer 1

分析：带电粒子在磁场中只受洛伦兹力，粒子在磁场中做匀速圆周运动．根据题意作出粒子的运动轨迹，由牛顿第二定律与数学知识分析答题．

解答：解：（1）设粒子运动的轨道半径为r，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

，
T=

2πr

v0

，解得T=

2πm

qB

，
微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间：
t=

90°

360°

T=

πm

2qB

；
（2）粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等份（n=2，3，4，．．）
设每等份圆弧所对圆心角为2θ，
由几何知识可得θ=

π

2n

，tanθ=

r

R

，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

，
解得：v₀=

qBR

m

tan

π

2n

（n=2、3、4、…），
当n为偶数时，由对称性可得t=

nT

2

=

nπm

qB

（n=2、4、6、8…）
当n为奇数时．t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，
即t=

n-1

2

T+

π+ π n

2π

T=

(n2+1)πm

nqB

（n=3、5、7…），

（3）设x为O到粒子运动轨迹的圆心的距离，
由几何知识得：r=Rtan

π

2n

，x=

R

cos π 2n

，
要不超出边界须有：

R

cos π 2n

+Rtan

π

2n

＜2R，
解得：2cos

π

2n

＞1+sin

π

2n

，
当n=2时不成立，如图（b）所示
 
比较当n=3、n=4时的运动半径，可知：当n=3时，运动半径最大，粒子的速度最大．即有
r=Rtan

π

2n

=

3

3

R=

mv0

qB

，可得：v₀=

3 qBR

3m

；

答：（1）微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间为

πm

2qB

；
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小为v₀=

qBR

m

tan

π

2n

（n=2、3、4、…），
运动时间为当n为偶数时，t=

nT

2

=

nπm

qB

（n=2、4、6、8…）
当n为奇数时，即t=

n-1

2

T+

π+ π n

2π

T=

(n2+1)πm

nqB

（n=3、5、7…）．
（3）其速度的最大值为

3 qBR

3m

．

点评：运动轨迹的特殊性研究到一般性探究，这是分析问题的一种方法．同时要利用圆的特性与物理规律相结合．本题是一道难题，根据题意作出粒子的运动轨迹是本题解题的难点，也是正确解题的关键．