Question

15．某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如图所示，光滑轨道中间部分水平，右侧为位于竖直平面内半径为R的半圆，在最低点与直轨道相切．5个大小相同、质量不等的小球并列静置于水平部分，球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为0、1、2、3、4，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1）．将0号球向左拉至左侧轨道距水平高h处，然后由静止释放，使其与1号球碰撞，1号球再与2号球碰撞…所有碰撞皆为无机械能损失的正碰（不计空气阻力，小球可视为质点，重力加速度为g）．
（1）0号球与1号球碰撞后，1号球的速度大小v₁；
（2）若已知h=1.0m，R=0.64m，要使4号球碰撞后能过右侧轨道的最高点，问k值为多少？

Answer 1

分析 （1）0号球下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出它滑到水平面时的速度，两球碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出球的速度．
（2）求出4号球的速度，然后应用机械能守恒定律与牛顿第二定律求出k．

解答 解：（1）0号球碰前速度为v₀，由机械能守恒定律得：m₀gh=$\frac{1}{2}$m₀v₀²，
碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：m₀v₀=m₀v₀′+m₁v₁，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₀v₀²=$\frac{1}{2}$m₀v₀′²+$\frac{1}{2}$m₁v₁²，
解得：v₁=$\frac{2{m}_{0}}{{m}_{0}+{m}_{1}}$v₀=$\frac{2}{1+k}$v₀=$\frac{2}{1+k}$$\sqrt{2gh}$，
（2）同理可得：v₂=$\frac{2}{1+k}$v₁，…v₄=$\frac{2}{1+k}$v₃，
解得：v₂=（$\frac{2}{1+k}$）⁴v₀，
4号球从最低点到最高点过程，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m₄v₄²=$\frac{1}{2}$m₄v²+m₄g•2R，
4号球在最高点：${m}_{4}\frac{{v}_{4}^{2}}{R}$≥m₄g，
解得：k≤$\sqrt{2}$-1；
答：（1）0号球与1号球碰撞后，1号球的速度大小v₁为$\frac{2}{1+k}$$\sqrt{2gh}$；
（2）若已知h=1.0m，R=0.64m，要使4号球碰撞后能过右侧轨道的最高点，k值为：k≤$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了求速度、求k，分析清楚物体运动过程，应用机械能守恒定律与动量守恒定律、牛顿第二定律即可正确解题．