Question

3．如图所示，在水平面内建立xOy坐标系，在第二、四象限存在磁感应强度相同的匀强磁场，在第三象限设有水平向右的匀强电场．电场强度为E，某带电粒子自x轴上的P点以平行与y轴的速度v₀射入电场，已知粒子质量为m，电荷量为q，粒子第一次经过y轴的坐标为（0，$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qE}$），不计粒子重力．
（1）求粒子在电场中运动的时间及出发点P的坐标；
（2）若粒子第一次穿越x轴时恰好垂直射出，求磁感应强度B．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，利用类平抛运动规律可以计算出粒子在电场中运动的时间及出发点P的坐标；
（2）先确定在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径，在根据半径与磁感应强度关系计算出磁感应强度B；

解答 解：（1）粒子在第三象限的电场中做类平抛运动，沿着y轴负方向做匀速直线运动，则有：$t=\frac{\frac{m{v}_{0}^{2}}{qE}}{{v}_{0}}=\frac{m{v}_{0}}{qE}$
沿着x轴正方向做匀加速直线运动，加速度为：$a=\frac{qE}{m}$
则有：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qE}$
故P点坐标为（$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qE}$，0）
（2）设与y轴的交点为Q，沿着x方向的速度为：v_x=at=v₀，
则Q点速度v=$\sqrt{2}{v}_{0}$，速度方向与y轴负方向的夹角为45°，利用几何关系确定在第四象限做圆周运动的圆心为N，如图所示
由几何关系知：$R=QN=\frac{OQ}{cos45°}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qE}$
在磁场中洛伦兹力提供向心力则有：$qvB=\frac{{mv}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{E}{{v}_{0}}$
答：（1）粒子在电场中运动的时间为$\frac{{mv}_{0}^{\;}}{qE}$，出发点P的坐标为（$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qE}$，0）；
（2）若粒子第一次穿越x轴时恰好垂直射出，磁感应强度B为$\frac{E}{{v}_{0}}$．

点评 本题是粒子在电场和磁场中运动计算题，难度中上，要先分析粒子的运动情况，找出相应的规律．垂直进入电场做类平抛运动，利用运动的分解进行解答，进入磁场做匀速圆周运动，步骤是找圆心，确定半径．