Question

如图所示，一水平传送装置由轮半径均为R=m的主动轮Q₁和从动轮Q₂及传送带等构成．两轮轴心相距l_AB=8.0m，轮与传送带不打滑．现用此装置运送一袋面粉，已知这袋面粉与传送带之间的动摩擦因数μ=0.4，这袋面粉中的面粉可不断地从袋中渗出．（g取10m/s²）
（1）当传送带以4.0m/s的速度匀速运动时，将这袋面粉由左端Q₂正上方的A点轻放在传送带上后，这袋面粉由A端运送到Q₁正上方的B端所用的时间为多少？
（2）要想尽快将这袋面粉由A端送到B端（设初速度仍为零），主动轮Q₁的转速至少应为多大？
（3）由于面粉的渗漏，在运送这袋面粉的过程中会在深色传送带上留下白色痕迹，这袋面粉在传送带上留下的痕迹最长能有多长（设袋的初速度仍为零）？此时主动轮的转速应满足何种条件？

Answer 1

解：设面粉袋的质量为m，其在与传送带产生相对滑动的过程中所受的摩擦力f=μmg
故而其加速度为：a==μg=4.0 m/s²．
（1）若传送带的速度v_带=4.0 m/s，则：
面粉袋加速运动的时间t₁==1.0 s
在t₁时间内面粉袋的位移s₁=at=2.0 m
其后以v=4.0 m/s的速度做匀速运动
s₂=l_AB-s₁=vt₂
解得：t₂=1.5 s
故这袋面粉运动的总时间为：t=t₁+t₂=2.5 s．
（2）要想时间最短，面粉袋应一直向B端做加速运动，由l_AB=at′²可得：t′=2.0 s
此时传送带的运转速度最小为：v′=at′=8.0 m/s
v=ωr=2πnR可得：转速的最小值n=240 r/min（或4 r/s）．
（3）传送带的速度越大，“痕迹”越长．当面粉的痕迹布满整条传送带时，痕迹达到最长．即痕迹长△s=2l+2πR=18.0 m
在面粉袋由A端运动到B端的时间内，传送带运转的距离s_带=△s+l_AB=26.0 m
又由（2）已知t′=2.0 s
故而有：2πn′R≥
则：n′≥390 r/min（或6.5 r/s）．
答：（1）这袋面粉由A端运送到Q₁正上方的B端所用的时间为2.5s．
（2）转速的最小值n=240 r/min．
（3）这袋面粉在传送带上留下的痕迹最长能有18.0m，此时主动轮的转速n′≥390 r/min．
分析：（1）面粉在传送带上先做匀加速直线运动，当速度达到传送带速度一起做匀速直线运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出面粉由A端运送到Q₁正上方的B端所用的时间．
（2）要想时间最短，面粉袋应一直向B端做加速运动，根据运动学公式求出传送带的最小速度，从而根据v=ωR=2πnR求出主动轮Q₁的转速的最小值．
（3）传送带的速度越大，“痕迹”越长．当面粉的痕迹布满整条传送带时，痕迹达到最长．痕迹的长度等于相对路程的大小，通过面粉袋的位移求出传送带的位移，通过时间求出主动轮的最小速度，从而求出转速的最小值．
点评：解决本题的关键理清面粉袋的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．