Question

9．一个半径为R的玻璃半球，如图甲所示平放在水平桌面上（上表面水平）若一道激光从距O点距离为$\frac{{\sqrt{3}R}}{3}$的E点与上表面成45°射入，则部分光线能从O点右侧的F射出，F点离O点的距离也为$\frac{{\sqrt{3}R}}{3}$，且射出时与上表面也成45°．现改用一束竖直光垂直照射玻璃半球（如图乙），结果在水平桌面上出现了一个亮斑，求该亮斑的半径．

Answer 1

分析 依题意画出开始时的光路图，结合折射率的定义求出折射率；激光束从半球上表面垂直射入玻璃半球，恰能从球面射出，在球面上恰好发生全反射，作出光路图．根据几何知识求出临界角的正弦，进而求得该亮斑的半径．

解答 解：激光由E点射入时，由对称性可知，在玻璃砖内经最低点G．
从E点射入时，入射角45°，
折射角：$tanβ=\frac{OE}{OG}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}R}{R}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
得β=30°
设玻璃砖折射率为n，则$n=\frac{sin45°}{sin30°}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$
当光垂直照射玻璃半球，全反射临界角为C，
则$sinC=\frac{1}{n}$，则C=45°
则：HO=Rsin45°
设折射光线打在桌面上I点，设IG的长度为r，由几何关系可得：
r+（R-Rcos45°）=Rsin45°
亮斑的半径r=（$\sqrt{2}$-1）R
答：该亮斑的半径是（$\sqrt{2}$-1）R．

点评 该题是几何光学问题，要正确作出光路图，确定入射角和折射角，并灵活运用折射定律是解题的关键．