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(2006?重庆)如图,半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内.小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数).A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑,与静止于轨道最低点的B球相撞,碰撞后A、B球能达到的最大高度均为
14
R
,碰撞中无机械能损失.重力加速度为g.试求:
(1)待定系数β;
(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;
(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度,并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度.
分析:(1)由题,碰撞中无机械能损失,以AB组成的系统研究,由机械能守恒定律研究A球从静止开始下滑到碰撞后A、B球达到的最大高度的过程,可求出待定系数β;
(2)碰撞后,A、B两球各自的机械能守恒,可求出碰撞后的速度,B球由轨道的支持力和重力的合力提供向心,由牛顿运动定律求解B球对轨道的压力;
(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞过程,根据机械能守恒和动量守恒,求出小球A、B碰撞后两球的速度,再进行讨论.
解答:解:(1)A球从静止开始下滑到碰撞后A、B球达到的最大高度的过程,由机械能守恒定律得
   mgR=
1
4
mgR+
1
4
βmgR

解得,β=3
(2)设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2,则
则 
1
2
m
v
2
1
=
1
4
mgR
  
1
2
βm
v
2
2
=
1
4
βmgR

设向右方向正,向左为负,则得
   v1=-
1
2
gR
,方向向左;
   v2=
1
2
gR
,方向向右.
设轨道对B球的支持力为N,B球对轨道的压力为N′,方向竖直向下为正
则由牛顿第二定律得
   N-βmg=βm
v
2
2
R

得,N=4.5mg
由牛顿第三定律得,N′=-N=-4.5mg,方向竖直向下.
(3)设A、B两球第二次碰撞刚结束时各自的速度分别为V1、V2
由机械能守恒和动量守恒得
   mgR=
1
2
m
V
2
1
+
1
2
βm
V
2
2

-mv1-βmv2=mV1+βmV2
解得,V1=-
2gR
,V2=0.(另一组解:V1=-v1,V2=-v2,不合题意,舍去)
由此可得
  当n为奇数时,小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同; 
  当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同;
答:
(1)待定系数β是3.
(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度为-
1
2
gR
,方向向左和
1
2
gR
,方向向右;B球对轨道的压力是4.5mg,方向竖直向下.
(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度分别是
2gR
和0,当n为奇数时,小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同;
当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同;
点评:本题中两球发生弹性碰撞,遵守两大守恒:机械能守恒和动量守恒,要灵活选择研究对象和研究的过程,注意研究动量时,要选正方向,用正负号表示动量的方向.
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