Question

20．图是交流发电机模型示意图．在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO′转动，由线圈引出的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO′转动的金属圆环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R形成闭合电路．如图是主视图，导线ab和cd分别用它们的横截面来表示．已知ab长度为L₁，be长度为L₂，线圈以恒定角速度ω逆时针转动．（只考虑单匝线圈） 
（1）线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t时刻整个线圈中的感应电动势e₁的表达式；
（2）线圈平面处于与中性面成垂直时开始计时，如图所示，试写出感应电动势e₂的表达式：
（3）若线圈电阻为r，求线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热．（其他电阻均不计）

Answer 1

分析 （1）矩形线圈abcd转动过程中，只有ab和cd切割磁感线，先求出转动线速度，根据E=BLv，求出导线ab和cd因切割磁感线而产生的感应电动势，从而写出瞬时表达式；
（2）若从与中性面垂直位置开始计时，则应为余弦表达式；
（3）先求出平均电动势，根据欧姆定律求出平均电流，根据Q=I²RT即可求解．

解答 解：（1）电动势的峰值为：E_m=NBSω=NBL₁L₂ω，
θ=ωt，
则t时刻整个线圈中的感应电动势e₁表达式玩儿：e₁=NBL₁L₂ωsinωt．
（2）若从与中性面垂直位置开始计时，则瞬时表达式为：
e₂=NBL₁L₂ωcosωt．
（3）由闭合电路欧姆定律可知：I=$\frac{E}{R+r}$，
这里的E为线圈产生的电动势的有效值为：$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{B{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$，
则线圈转动一周在R上产生的焦耳热为：${Q}_{R}={I}^{2}RT$，
其中$T=\frac{2π}{ω}$，
所以：Q=$\frac{πωR{N}^{2}{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}{{L}_{2}}^{2}}{（R+r）^{2}}$．
答：（1）t时刻整个线圈中的感应电动势e₁表达式为e₁=NBL₁L₂ωsinωt．
（2）t时刻整个线圈中的感应电动势e₂的表达式e₂=BL₁L₂ωcosωt
（3）线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热$\frac{πωR{N}^{2}{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}{{L}_{2}}^{2}}{（R+r）^{2}}$．

点评 当线圈与磁场相平行时，即线圈边框正好垂直切割磁感线，此时产生的感应电动势最大．求电荷量时，运用交流电的平均值，求产生的热能时，用交流电的有效值．