Question

【题目】如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内.小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数).A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑,与静止于轨道最低点的B球相撞,碰撞后A、B球能达到的最大高度均为R,碰撞中无机械能损失.重力加速，碰撞中无机械能损失．重力加速度为g．试求：

（1）待定系数β；

（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；

（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度．

Answer 1

【答案】（1）待定系数β是3；（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度为 ，方向向左和，方向向右；B球对轨道的压力是4.5mg，方向竖直向下；（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度分别是 和0，当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同； 当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；

【解析】

试题分析: （1）A球从静止开始下滑到碰撞后A、B球达到的最大高度的过程，由机械能守恒定律得

，解得：β=3

（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则

设向右方向正，向左为负，解得： ，方向向左； ，方向向右．

设轨道对B球的支持力为FN，B球对轨道的压力为FN′，方向竖直向下为正

则由牛顿第二定律得，解得，FN=4.5mg

由牛顿第三定律得，FN′=-FN=-4.5mg，方向竖直向下．

（3）设A、B两球第二次碰撞刚结束时各自的速度分别为V1、V2，

由机械能守恒和动量守恒得

-mv1-βmv2=mV1+βmV2

解得， ，V2=0．（另一组解：V1=-v1，V2=-v2，不合题意，舍去）

由此可得

当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；

当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；