Question

20．如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B，以不同的速度进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg；B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg，重力加速度为g．求
（1）A、B两球通过最高点时的速度大小；
（2）A、B两球落地点间的距离；
（3）如果小球在最高点只受到重力作用，其速度大小是多少？

Answer 1

分析 （1）a球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向下，大小为3mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出a球在最高点速度．
b球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向上，大小为0.75mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出b球在最高点速度．
（2）两球从最高点飞出后均做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由高度2R求出运动时间．水平方向做匀速直线运动，由速度和初速度求解水平位移，a、b两球落地点间的距离等于位移之差；
（3）球在最高点只受到重力作用，故重力提供做向心力，由牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）设A、B两球到达最高点C时的速度分别为v_A、v_B，因为管的内径很小，故可认为两球在最高点C时的轨道半径相等．两球在最高点受力如图所示．由牛顿第二定律可得
对小球A有　${N_A}+mg=m\frac{v_A^2}{R}$
将 N_A=3mg代入可得 　${v_A}=\sqrt{4gR}$
对小球B有　$mg-{N_B}=m\frac{v_B^2}{R}$
将${N_B}=\frac{3}{4}mg$代入可得${v_B}=\sqrt{\frac{1}{4}gR}$
（2）两球离开管后做平抛运动，设飞行时间大小为T，则有$2R=\frac{1}{2}g{T^2}解得T=\sqrt{\frac{4R}{g}}$
A、B落地距离即为水平位移之差，所以有$△S={s_A}-{s_B}=（{v_A}-{v_B}）T=（\sqrt{4gR}-\sqrt{\frac{1}{4}gR}）\sqrt{\frac{4R}{g}}=3R$
（3）因为球在最高点只受到重力作用，故重力提供做向心力，设此时速度为v₀．由牛顿第二定律有$mg=m\frac{v_0^2}{R}$解得　${v_0}=\sqrt{gR}$
答：（1）A、B两球通过最高点时的速度大小分别为$\sqrt{4gR}$和$\sqrt{\frac{1}{4}gR}$；
（2）A、B两球落地点间的距离为3R；
（3）如果小球在最高点只受到重力作用，其速度大小是$\sqrt{gR}$．

点评 本题关键是对小球在最高点处时受力分析，然后根据向心力公式和牛顿第二定律求出平抛的初速度，最后根据平抛运动的分位移公式列式求解．