Question

7．如图所示，在离心机的光滑水平横杆上穿有两个质量分别为2m和m的小球A和B，A、B间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，弹簧的自然长度为L，当离心机以角速度ω转动时，欲使A、B两球仍能相对横杆静止而不碰到两侧挡板，已知两板间的距离为3L，求转速ω的最大值．

Answer 1

分析 两球做圆周运动，角速度相等，靠弹簧的弹力提供向心力，根据向心力的关系结合胡克定律和牛顿第二定律求出距离中心的距离，抓住B的转动半径小于1.5L，结合B离中心转轴的距离表达式求出角速度的范围即可．

解答 解：因为弹簧对A、B两球的弹力相等，知A、B两球做圆周运动的向心力相等，有：
$2m{r}_{A}{ω}^{2}$=$m{r}_{B}{ω}^{2}$
所以：r_B=2r_A．
根据牛顿第二定律得：
$2m{r}_{A}{ω}^{2}=k（{r}_{A}+{r}_{B}-L）$
解得：${r}_{A}=\frac{kL}{3k-2m{ω}^{2}}$，${r}_{B}=\frac{2kL}{3k-2m{ω}^{2}}$．
两板间的距离为3L，当r_B=1.5L时，角速度最大，则有：
r_B=1.5L，
解得：$ω=\sqrt{\frac{5k}{6m}}$
答：转速ω的最大值为$\sqrt{\frac{5k}{6m}}$．

点评 解决本题的关键两球的角速度相等，靠弹力提供向心力，根据牛顿第二定律进行求解．