Question

10．单摆测定重力加速度的实验中：
（1）实验时用20分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图甲所示，该摆球的直径d=11.70 mm．
（2）悬点到小球底部的长度l₀，示数如图乙所示，l₀=100.25 cm

（3）实验时用拉力传感器测得摆线的拉力F随时间t变化的图象如图丙所示，然后使单摆保持静止，得到如图丁所示的F-t图象．那么：
①重力加速度的表达式 g=$\frac{{π}^{2}（{l}_{0}-\frac{d}{2}）}{4{t}_{0}^{2}}$（用题目中的物理量d、l₀、t₀表示）．
②设摆球在最低点时E_p=0，已测得当地重力加速度为g，单摆的周期用T表示，那么测得此单摆摆动时的机械能E的表达式是BD．
A．$\frac{（{F}_{1}-{F}_{3}）g{T}^{2}}{2{π}^{2}}$     B．$\frac{{（F}_{1}-{F}_{3}）g{T}^{2}}{8{π}^{2}}$      C．$\frac{（{F}_{3}-{F}_{2}）g{T}^{2}}{6{π}^{2}}$          D．$\frac{（{F}_{3}-{F}_{2}）g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1、2）游标卡尺的读数等于主尺读数加上游标读数，不需估读；刻度尺读数需估读到最小刻度的下一位．
（3）由图线得出单摆的周期，结合单摆的周期公式求出重力加速度的表达式．
单摆摆动时的机械能等于最低点的动能和势能之和，根据牛顿第二定律，结合拉力和重力的合力提供向心力，求出最低点的动能，从而求出单摆在最低点的机械能．

解答 解：（1）游标卡尺的主尺读数为11mm，游标读数为14×0.05mm=0.70mm，则最终读数为11.70mm，摆球的直径为11.70mm．
（2）悬点到小球底部的长度l₀=100.25cm．
（3）由摆线的拉力F随时间t变化的图象知，单摆的周期为4t₀，
根据T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，重力加速度为：
g=$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}（{l}_{0}-\frac{d}{2}）}{16{t}_{0}^{2}}$=$\frac{{π}^{2}（{l}_{0}-\frac{d}{2}）}{4{t}_{0}^{2}}$．
单摆在最低点时F₁-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，mg=F₃．
根据周期公式摆长l=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$，
联立三个式子，得：E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{（{F}_{1}-{F}_{3}）g{T}^{2}}{8{π}^{2}}$，
则机械能为：E=E_k+E_p=$\frac{（{F}_{1}-{F}_{3}）g{T}^{2}}{8{π}^{2}}$．
当单摆摆动最高点时，有：E=E_p=mgl（1-cosθ），
又F₂=mgcosθ，l=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$，
解得E=$\frac{（{F}_{3}-{F}_{2}）g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$，故B、D正确，A、C错误．
故答案为：（1）11.70；（2）100.25；
（3）①$\frac{{π}^{2}（{l}_{0}-\frac{d}{2}）}{4{t}_{0}^{2}}$．
②BD．

点评 解决本题的关键掌握单摆的周期公式，知道游标卡尺和刻度尺的读数方法，以及知道单摆在摆动的过程中，通过平衡位置时，拉力和重力的合力提供向心力，此时拉力最大．在最大位移处，拉力等于重力的分力，此时拉力最小．