Question

8．如图所示，竖直放置的U形管的横截面积均为S，内装密度为ρ的液体，ρg=0.1atm/m．右侧管与大气连通且足够长，且管内有一质量为m的活塞搁在固定卡口上，卡口位置与右管上端等高．开始时，左、右管内液面高度相等，两管内空气柱长度均为l₀=1.0m，压强均为大气压强p₀=1atm．现使两边气体升高相同的温度，平衡时左侧管内液面下降h=0.1m，此时右侧管内气体长度为1.12m．（已知：mg/S=0.01atm）

Answer 1

分析 先假设活塞不动，可以求出右边管内气体压强，对左边气体有$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{′}{V}_{1}^{′}}{{T}_{1}^{′}}$，对右边气体$\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{′}{V}_{2}^{′}}{{T}_{2}^{′}}$，列出体积关系和压强关系，得出压强无解，说明假设不成立；
活塞向上移，根据活塞的平衡条件求出右侧气体的压强，由两侧水银面的高度差求出左侧气体的压强，再对左右两侧气体分别运用理想气体状态方程求右侧气体的长度；

解答 解：假设活塞不动
对左侧气体：$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{′}{V}_{1}^{′}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入数据：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{′}1.1S}{{T}_{2}^{\;}}$①
对右侧气体：$\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{′}{V}_{2}^{′}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入数据：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{（{p}_{1}^{′}-ρg×0.2）0.9S}{{T}_{2}^{\;}}$=$\frac{（{p}_{1}^{′}-0.02）×0.9S}{{T}_{2}^{\;}}$②
联立①②解得：${p}_{1}^{\;}=-0.09atm$不符合实际情况，所以活塞一定向上运动；两个管子是完全相同的，升高相同的温度，不可能一个压强增大，一个压强减小，如果活塞不动的话，那么水银柱是不会动的，因为它们压强变化量是相同的，正是因为无解说明这个状态不存在，也即活塞向上运动；
以活塞为研究对象，活塞受到受到三力平衡，上面大气的压力、里面气体的压力，和重力
$mg+{p}_{0}^{\;}S={p}_{右}^{\;}S$
即：${p}_{右}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}=1+0.01=1.01atm$
右管比左管水银面高0.2m，${p}_{左}^{\;}={p}_{右}^{\;}+ρgh=1.01+0.1×0.2=1.03atm$
设初态温度为${T}_{1}^{\;}$，末态温度${T}_{2}^{\;}$，右侧管内气体的长度l
对左侧气体：$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{左}^{\;}{V}_{左}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$，
代入数据：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{1.03atm×1.1S}{{T}_{2}^{\;}}$③
对右侧气体：$\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{右}^{\;}{V}_{右}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入数据：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{1.01atm×lS}{{T}_{2}^{\;}}$④
联立③④得：l=1.12m
故答案为：1.12

点评 本题考查理想气体状态方程的应用，注意判断活塞是否移动，根据受力平衡求气体压强，对两部分气体列理想气体状态方程要正确确定初末状态的参量．